我有一个nxm个由非负整数组成的矩阵。例如:
2 3 4 7 1
1 5 2 6 2
4 3 4 2 1
2 1 2 4 1
3 1 3 4 1
2 1 4 3 2
6 9 1 6 4
“投下炸弹”会使目标细胞及其所有八个邻居的数量减少一个，直到最小值为零。
x x x
x X x
x x x
什么样的算法可以确定将所有细胞减少到零所需的最少炸弹数量?
B选项(因为我不是一个细心的读者)
事实上，问题的第一个版本并不是我要寻找的答案。我没有仔细阅读整个任务，有额外的约束条件，让我们说:
那么简单的问题是，当行中的序列必须是非递增的:
8 7 6 6 5是可能的输入序列
7 8 5 5 2是不可能的，因为7 -> 8在一个序列中增长。
也许为“简单”的问题找到答案会有助于为更难的问题找到解决方案。
PS:我相信当我们有几个相同的情况需要最少的炸弹来清除上面的线时，我们会选择在“左侧”使用最多炸弹的一个。还有什么证据是正确的吗?
当前回答
为了尽量减少炸弹的数量，我们必须最大化每个炸弹的效果。要做到这一点，每一步我们都要选择最好的目标。对于每一个点，它和它的八个邻居的总和，可以被用作轰炸这一点的效率量。这将提供接近最佳的炸弹序列。
UPD:我们还应该考虑到零的数量，因为轰炸它们效率很低。事实上，问题是最小化击中零的数量。但我们不知道每一步如何使我们更接近这个目标。我同意这个问题是np完全的。我建议用贪婪的方法，它会给出一个接近真实的答案。
其他回答
这里有一个解决方案，推广良好的性质的角。
让我们假设我们可以为给定的字段找到一个完美的落点，也就是说，一个减少其中值的最佳方法。然后，为了找到最少的炸弹数量，一个算法的初稿可能是(代码是从ruby实现中复制粘贴的):
dropped_bomb_count = 0
while there_are_cells_with_non_zero_count_left
coordinates = choose_a_perfect_drop_point
drop_bomb(coordinates)
dropped_bomb_count += 1
end
return dropped_bomb_count
挑战是choose_a_perfect_drop_point。首先，让我们定义一个完美的落点是什么。
(x, y)的放置点会减少(x, y)中的值。它也可能会减少其他单元格中的值。 (x, y)的放置点A比(x, y)的放置点b更好，如果它减少了b所减少的单元格的适当超集中的值。 如果没有其他更好的投放点，投放点是最大的。 (x, y)的两个放置点是等效的，如果它们减少了同一组单元格。 如果(x, y)的放置点等价于(x, y)的所有最大放置点，那么它就是完美的。
如果(x, y)存在一个完美的投放点，那么您不能比在(x, y)的一个完美投放点上投放炸弹更有效地降低(x, y)处的值。
给定字段的完美放置点是其任何单元格的完美放置点。
以下是一些例子:
1 0 1 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
单元格(0,0)(从零开始的索引)的完美放置点是(1,1)。(1,1)的所有其他放置点，即(0,0)、(0,1)和(1,0)，减少的单元格较少。
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
单元格(2,2)(从零开始的索引)的完美落点是(2,2)，以及所有周围的单元格(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)和(3,3)。
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
单元格(2,2)的完美放置点是(3,1):它减少了(2,2)中的值和(4,0)中的值。(2,2)的所有其他放置点都不是最大的，因为它们减少了一个单元格。(2,2)的完美下拉点也是(4,0)的完美下拉点，它是字段的唯一完美下拉点。它为这个领域带来了完美的解决方案(一颗炸弹)。
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
(2,2)没有完美的落点:(1,1)和(1,3)都减少(2,2)和另一个单元格(它们是(2,2)的最大落点)，但它们不相等。然而，(1,1)是(0,0)的完美落点，(1,3)是(0,4)的完美落点。
根据完美落点的定义和一定的检查顺序，我得到了以下问题示例的结果:
Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 6
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 0, 6
Drop bomb on 0, 6
Drop bomb on 2, 1
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 3, 1
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 4
Drop bomb on 3, 4
Drop bomb on 3, 3
Drop bomb on 3, 3
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 4, 6
28
然而，该算法只有在每一步之后至少有一个完美落点时才能工作。可以在没有完美落点的情况下构建例子:
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
对于这些情况，我们可以修改算法，这样我们就不会选择完美的落点，而是选择一个具有最大落点的最小选择的坐标，然后计算每个选择的最小值。在上面的例子中，所有有值的单元格都有两个最大落点。例如，(0,1)有最大落点(1,1)和(1,2)。选择其中任何一个，然后计算最小值，会得到这样的结果:
Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 2, 2
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 2, 1
2
这是对第一个问题的回答。我没有注意到他改变了参数。
创建一个所有目标的列表。根据掉落物品(掉落物品本身和所有邻居)影响的正数值的数量为目标分配一个值。最高值是9。
根据受影响目标的数量(降序)对目标进行排序，对每个受影响目标的和进行二次降序排序。
向排名最高的目标投掷炸弹，然后重新计算目标，直到所有目标值都为零。
同意，这并不总是最优的。例如,
100011
011100
011100
011100
000000
100011
这种方法需要5枚炸弹才能清除。最理想的情况是，你可以在4分钟内完成。不过,很 非常接近，没有回头路。在大多数情况下，这将是最优的，或者非常接近。
使用原来的问题数，该方法解决28个炸弹。
添加代码来演示这种方法(使用带有按钮的表单):
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
int[,] matrix = new int[10, 10] {{5, 20, 7, 1, 9, 8, 19, 16, 11, 3},
{17, 8, 15, 17, 12, 4, 5, 16, 8, 18},
{ 4, 19, 12, 11, 9, 7, 4, 15, 14, 6},
{ 17, 20, 4, 9, 19, 8, 17, 2, 10, 8},
{ 3, 9, 10, 13, 8, 9, 12, 12, 6, 18},
{16, 16, 2, 10, 7, 12, 17, 11, 4, 15},
{ 11, 1, 15, 1, 5, 11, 3, 12, 8, 3},
{ 7, 11, 16, 19, 17, 11, 20, 2, 5, 19},
{ 5, 18, 2, 17, 7, 14, 19, 11, 1, 6},
{ 13, 20, 8, 4, 15, 10, 19, 5, 11, 12}};
int value = 0;
List<Target> Targets = GetTargets(matrix);
while (Targets.Count > 0)
{
BombTarget(ref matrix, Targets[0]);
value += 1;
Targets = GetTargets(matrix);
}
Console.WriteLine( value);
MessageBox.Show("done: " + value);
}
private static void BombTarget(ref int[,] matrix, Target t)
{
for (int a = t.x - 1; a <= t.x + 1; a++)
{
for (int b = t.y - 1; b <= t.y + 1; b++)
{
if (a >= 0 && a <= matrix.GetUpperBound(0))
{
if (b >= 0 && b <= matrix.GetUpperBound(1))
{
if (matrix[a, b] > 0)
{
matrix[a, b] -= 1;
}
}
}
}
}
Console.WriteLine("Dropped bomb on " + t.x + "," + t.y);
}
private static List<Target> GetTargets(int[,] matrix)
{
List<Target> Targets = new List<Target>();
int width = matrix.GetUpperBound(0);
int height = matrix.GetUpperBound(1);
for (int x = 0; x <= width; x++)
{
for (int y = 0; y <= height; y++)
{
Target t = new Target();
t.x = x;
t.y = y;
SetTargetValue(matrix, ref t);
if (t.value > 0) Targets.Add(t);
}
}
Targets = Targets.OrderByDescending(x => x.value).ThenByDescending( x => x.sum).ToList();
return Targets;
}
private static void SetTargetValue(int[,] matrix, ref Target t)
{
for (int a = t.x - 1; a <= t.x + 1; a++)
{
for (int b = t.y - 1; b <= t.y + 1; b++)
{
if (a >= 0 && a <= matrix.GetUpperBound(0))
{
if (b >= 0 && b <= matrix.GetUpperBound(1))
{
if (matrix[ a, b] > 0)
{
t.value += 1;
t.sum += matrix[a,b];
}
}
}
}
}
}
你需要的一个类:
class Target
{
public int value;
public int sum;
public int x;
public int y;
}
使用分支和定界的数学整数线性规划
As it has already been mentioned, this problem can be solved using integer linear programming (which is NP-Hard). Mathematica already has ILP built in. "To solve an integer linear programming problem Mathematica first solves the equational constraints, reducing the problem to one containing inequality constraints only. Then it uses lattice reduction techniques to put the inequality system in a simpler form. Finally, it solves the simplified optimization problem using a branch-and-bound method." [see Constrained Optimization Tutorial in Mathematica.. ]
我写了下面的代码，利用ILP库的Mathematica。它的速度快得惊人。
solveMatrixBombProblem[problem_, r_, c_] :=
Module[{},
bombEffect[x_, y_, m_, n_] :=
Table[If[(i == x || i == x - 1 || i == x + 1) && (j == y ||
j == y - 1 || j == y + 1), 1, 0], {i, 1, m}, {j, 1, n}];
bombMatrix[m_, n_] :=
Transpose[
Table[Table[
Part[bombEffect[(i - Mod[i, n])/n + 1, Mod[i, n] + 1, m,
n], (j - Mod[j, n])/n + 1, Mod[j, n] + 1], {j, 0,
m*n - 1}], {i, 0, m*n - 1}]];
X := x /@ Range[c*r];
sol = Minimize[{Total[X],
And @@ Thread[bombMatrix[r, c].X >= problem] &&
And @@ Thread[X >= 0] && Total[X] <= 10^100 &&
Element[X, Integers]}, X];
Print["Minimum required bombs = ", sol[[1]]];
Print["A possible solution = ",
MatrixForm[
Table[x[c*i + j + 1] /. sol[[2]], {i, 0, r - 1}, {j, 0,
c - 1}]]];]
对于问题中提供的示例:
solveMatrixBombProblem[{2, 3, 4, 7, 1, 1, 5, 2, 6, 2, 4, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 2, 1, 4, 3, 2, 6, 9, 1, 6, 4}, 7, 5]
输出
对于那些用贪婪算法读这篇文章的人
在下面这个10x10的问题上试试你的代码:
5 20 7 1 9 8 19 16 11 3
17 8 15 17 12 4 5 16 8 18
4 19 12 11 9 7 4 15 14 6
17 20 4 9 19 8 17 2 10 8
3 9 10 13 8 9 12 12 6 18
16 16 2 10 7 12 17 11 4 15
11 1 15 1 5 11 3 12 8 3
7 11 16 19 17 11 20 2 5 19
5 18 2 17 7 14 19 11 1 6
13 20 8 4 15 10 19 5 11 12
这里用逗号分隔:
5, 20, 7, 1, 9, 8, 19, 16, 11, 3, 17, 8, 15, 17, 12, 4, 5, 16, 8, 18, 4, 19, 12, 11, 9, 7, 4, 15, 14, 6, 17, 20, 4, 9, 19, 8, 17, 2, 10, 8, 3, 9, 10, 13, 8, 9, 12, 12, 6, 18, 16, 16, 2, 10, 7, 12, 17, 11, 4, 15, 11, 1, 15, 1, 5, 11, 3, 12, 8, 3, 7, 11, 16, 19, 17, 11, 20, 2, 5, 19, 5, 18, 2, 17, 7, 14, 19, 11, 1, 6, 13, 20, 8, 4, 15, 10, 19, 5, 11, 12
对于这个问题，我的解决方案包含208个炸弹。这里有一个可能的解决方案(我能够在大约12秒内解决这个问题)。
作为一种测试Mathematica产生结果的方法，看看你的贪婪算法是否能做得更好。
这将是一个贪婪的方法:
计算一个阶为n X m的“score”矩阵，其中score[i][j]是如果位置(i,j)被炸毁，则矩阵中各点的总扣除额。(一个点的最高分数是9分，最低分数是0分) 逐行移动，找到并选择第一个得分最高的位置(例如(i,j))。 炸弹(i, j)。增加炸弹数量。 如果原矩阵的所有元素都不为零，则转到1。
但我怀疑这是否是最佳解决方案。
编辑:
我上面提到的贪心方法，虽然有效，但很可能不能给我们最优的解决方案。所以我想应该添加一些DP的元素。
我想我们可以同意，在任何时候，具有最高“分数”(分数[I][j] =总扣分，如果(I,j)被炸)的位置之一必须被瞄准。从这个假设开始，下面是新的方法:
NumOfBombs(M):(返回所需的最小炸弹数量)
给定一个矩阵M (n X M)，如果M中的所有元素都为0，则返回0。 计算“分数”矩阵M。 设k个不同的位置P1 P2…Pk (1 <= k <= n*m)，为m中得分最高的位置。 return (1 + min(NumOfBombs(M1)， NumOfBombs(M2)，…， NumOfBombs(Mk)) M1, M2,……，Mk是我们轰炸位置P1, P2，…， Pk。
此外，如果我们想在此基础上破坏位置的顺序，我们必须跟踪“min”的结果。
这是我的解决方案。由于时间有限，我不会用代码写出来，但我相信这应该每次都能产生最优的移动数量——尽管我不确定它在寻找要轰炸的点时是否有效。
首先，正如@Luka Rahne在一条评论中所说的，你轰炸的顺序并不重要，重要的是组合。
其次，正如许多人所说的那样，从角的对角线上轰炸1是最优的，因为它接触的点比角多。
这就生成了我的算法版本的基础: 我们可以在第一个或最后一个炸掉拐角的1-off，这没有关系(理论上) 我们首先破坏这些，因为它可以让后面的决定更容易(在实践中) 我们轰炸影响最大的点，同时轰炸那些角落。
让我们将阻力点定义为棋盘上具有最多不可炸点+周围0数量最多的点
非爆炸点可以定义为在我们正在研究的黑板的当前范围内不存在的点。
我还将定义4个处理范围的边界: 上=0，左=0，下=k，右=j。 (起始值)
最后，我将最优炸弹定义为投掷在与阻力点相邻的点上的炸弹，并接触(1)最高值的阻力点和(2)可能的最大数量的点。
关于方法，很明显我们正在从外到内的工作。我们将能够同时与4架“轰炸机”一起工作。
第一个阻力点显然是我们的弯道。“边界外”的点是不可轰炸的(每个角落的范围外都有5个点)。所以我们先在对角线上炸一个角。
算法:
找到4个最佳炸弹点。 如果一个炸弹点正在轰炸一个接触2个边界(即一个角)的阻力点，则一直轰炸到该点为0。否则，逐个轰炸，直到其中一个触及最佳轰炸点的阻力点为0。 对于每个边界: 如果(sum(bound)==0)前进界
重复以上步骤，直到上=下，左=右
稍后我将尝试编写实际代码
