这是个好问题。

你所有的问题都是基于“我们如何表示一个数字?”

所有的数字都可以用十进制表示，也可以用二进制(2的补码)表示。所有人!!

但有些(大多数)需要无穷多个元素(二进制位置为“0”或“1”，十进制表示为“0”，“1”到“9”)。

比如十进制表示的1/3(1/3 = 0.3333333…<-包含无限个“3”)

比如二进制中的0.1 (0.1 = 0.00011001100110011....<-带有无限个“0011”)

一切都在这个概念中。由于您的计算机只能考虑有限的数字集(十进制或二进制)，只有一些数字可以准确地表示在您的计算机…

乔恩说过，3是质数，不是10的因数，所以1/3不能用以10为底的有限个数来表示。

即使使用任意精度的算术，以2为基数的编号位置系统也不能完全描述6.1，尽管它可以表示61。

对于6.1，我们必须使用另一种表示法(比如十进制表示法，或者允许以2为底或以10为底表示浮点值的IEEE 854)。

(注意:我将在这里添加'b'来表示二进制数。其他数字均为十进制)

一种思考方法是用科学记数法。我们习惯看到用科学符号表示的数字，比如6.022141 * 10^23。浮点数内部使用类似的格式存储——尾数和指数，但使用2的幂而不是10。

你的61.0可以重写为1.90625 * 2^5，或者1.11101b * 2^101b加上尾数和指数。把它乘以10(移动小数点)，我们可以这样做:

(1.90625 * 2 ^ 5) * 1.25 * 2 ^ (3) = 2.3828125 * 2 ^ (8) = 1.19140625 * 2 ^ (9)

或者在二进制中用尾数和指数:

(1.1110b * 2^101b) * (1.01b * 2^11b) = (10.011000b * 2^1000b) = (1.0011000b * 2^1001b)

Note what we did there to multiply the numbers. We multiplied the mantissas and added the exponents. Then, since the mantissa ended greater than two, we normalized the result by bumping the exponent. It's just like when we adjust the exponent after doing an operation on numbers in decimal scientific notation. In each case, the values that we worked with had a finite representation in binary, and so the values output by the basic multiplication and addition operations also produced values with a finite representation.

现在，考虑一下我们如何用61除以10。我们先把尾数分成1.90625和1.25。小数是1.525，一个很短的数。但是如果我们把它转换成二进制呢?我们会用通常的方法来做——尽可能减去2的最大幂，就像把整数小数转换成二进制一样，但我们将使用2的负幂:

1.525         - 1*2^0   --> 1
0.525         - 1*2^-1  --> 1
0.025         - 0*2^-2  --> 0
0.025         - 0*2^-3  --> 0
0.025         - 0*2^-4  --> 0
0.025         - 0*2^-5  --> 0
0.025         - 1*2^-6  --> 1
0.009375      - 1*2^-7  --> 1
0.0015625     - 0*2^-8  --> 0
0.0015625     - 0*2^-9  --> 0
0.0015625     - 1*2^-10 --> 1
0.0005859375  - 1*2^-11 --> 1
0.00009765625...

哦哦。现在我们有麻烦了。原来，1.90625 / 1.25 = 1.525，用二进制表示时是一个重复分数:1.1110b / 1.01b = 1.10000110011…b我们的机器只有这么多位来容纳尾数，所以它们会四舍五入，假设超过某一点是零。当你用61除以10时，你看到的错误是:

1.100001100110011001100110011001100110011……B * 2^10b 而且,说: 1.100001100110011001100110b * 2^10b

正是尾数的舍入导致了我们与浮点值相关的精度损失。即使当尾数可以精确地表示(例如，当只是两个数字相加时)，如果在标准化指数后尾数需要太多数字来拟合，我们仍然会得到数字损失。

实际上，我们一直在做这样的事情，当我们把小数四舍五入到一个可管理的大小时，只给出它的前几位。因为我们用十进制表示结果，所以感觉很自然。但是如果我们四舍五入一个小数，然后把它转换成不同的底数，它看起来就像我们通过浮点四舍五入得到的小数一样难看。

根(数学)原因是，当你处理整数时，它们是可数无限的。

这意味着，即使它们的数量是无限的，我们也可以“数出”序列中的所有项目，而不会跳过任何一项。这意味着，如果我们想要在列表中的第610000000000000th位置上得到一项，我们可以通过一个公式来计算它。

然而，实数是无限的。你不能说“给我位置610000000000000的真实数字”并得到一个答案。原因是，即使在0到1之间，当考虑浮点值时，也有无限个值。这同样适用于任何两个浮点数。

更多信息:

http://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set

更新: 很抱歉，我似乎误解了这个问题。我的回答是关于为什么我们不能表示每一个真实的值，我没有意识到浮点数被自动归类为理性。

数字61.0确实有一个精确的浮点运算——但这并不是对所有整数都适用。如果您编写了一个循环，将一个双精度浮点数和一个64位整数都加了1，最终您将达到这样的情况:64位整数完美地表示一个数字，而浮点数却不能——因为没有足够的有效位。

只是在小数点右边求近似值要容易得多。如果你把所有的数字都写成二进制浮点数，这就更有意义了。

另一种思考的方式是，当你注意到61.0完全可以用10为底表示时，移动小数点并不会改变这一点，你是在执行10的幂乘法(10^1,10^-1)。在浮点数中，乘以2的幂并不影响数字的精度。试着用61.0反复除以3来说明一个非常精确的数字是如何失去它的精确表示的。

有理数的数量是无限的，而用来表示有理数的比特的数量是有限的。见http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point # Accuracy_problems。

这是个好问题。

你所有的问题都是基于“我们如何表示一个数字?”

所有的数字都可以用十进制表示，也可以用二进制(2的补码)表示。所有人!!

但有些(大多数)需要无穷多个元素(二进制位置为“0”或“1”，十进制表示为“0”，“1”到“9”)。

比如十进制表示的1/3(1/3 = 0.3333333…<-包含无限个“3”)

比如二进制中的0.1 (0.1 = 0.00011001100110011....<-带有无限个“0011”)

一切都在这个概念中。由于您的计算机只能考虑有限的数字集(十进制或二进制)，只有一些数字可以准确地表示在您的计算机…

乔恩说过，3是质数，不是10的因数，所以1/3不能用以10为底的有限个数来表示。

即使使用任意精度的算术，以2为基数的编号位置系统也不能完全描述6.1，尽管它可以表示61。

对于6.1，我们必须使用另一种表示法(比如十进制表示法，或者允许以2为底或以10为底表示浮点值的IEEE 854)。