为什么十进制数不能精确地用二进制表示?

有几个关于浮点表示法的问题被提交给了SO。例如，十进制数0.1没有精确的二进制表示，因此使用==操作符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示法背后的原理。

我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”?

例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但6.10这个数字并不准确。我所做的只是把小数点移了一位突然间我就从精确乌托邦变成了不精确镇。从数学上讲，这两个数字之间不应该有本质差别——它们只是数字。

相比之下，如果我把小数点向另一个方向移动一位，得到数字610，我仍然在Exactopia。我可以继续往这个方向(6100,610000000,610000000000000)它们仍然是完全，完全，完全的。但是一旦小数点越过某个阈值，这些数字就不再精确了。

这是怎么呢

编辑:为了澄清，我不想讨论诸如IEEE之类的行业标准表示，而是坚持我所相信的数学上的“纯粹”方式。以10为基数，位置值为:

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中，它们将是:

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

这些数字也没有任意的限制。位置向左和向右无限增加。

当前回答

分数和整数可以构成比例尺。有些分数，如1/7，如果没有很多很多的小数，就不能用十进制形式表示。因为浮点数是基于二进制的，所以特殊情况会发生变化，但同样的精度问题也会出现。

其他回答

问题是你并不知道这个数字是否真的是61.0。考虑一下:

浮动a = 60; 浮动b = 0.1; c = a + b * 10;

c的值是多少?它不是61，因为b不是。1因为。1不是精确的二进制表示。

一个简单的答案是:计算机没有无限的内存来存储分数(在以科学记数法的形式表示十进制数之后)。根据IEEE 754双精度浮点数标准，我们只有53位的限制来存储分数。欲了解更多信息:http://mathcenter.oxford.emory.edu/site/cs170/ieee754/

BCD -二进制编码的十进制-表示是精确的。它们不是很节省空间，但在这种情况下，这是为了准确性而必须做出的权衡。

这是个好问题。

你所有的问题都是基于“我们如何表示一个数字?”

所有的数字都可以用十进制表示，也可以用二进制(2的补码)表示。所有人!!

但有些(大多数)需要无穷多个元素(二进制位置为“0”或“1”，十进制表示为“0”，“1”到“9”)。

比如十进制表示的1/3(1/3 = 0.3333333…<-包含无限个“3”)

比如二进制中的0.1 (0.1 = 0.00011001100110011....<-带有无限个“0011”)

一切都在这个概念中。由于您的计算机只能考虑有限的数字集(十进制或二进制)，只有一些数字可以准确地表示在您的计算机…

乔恩说过，3是质数，不是10的因数，所以1/3不能用以10为底的有限个数来表示。

即使使用任意精度的算术，以2为基数的编号位置系统也不能完全描述6.1，尽管它可以表示61。

对于6.1，我们必须使用另一种表示法(比如十进制表示法，或者允许以2为底或以10为底表示浮点值的IEEE 854)。

你们知道整数，对吧?每一位代表2^n

2 ^ 4 = 16 2 ^ 3 = 8 2 ^ 2 = 4 2 ^ 1 = 2 2 ^ 0 = 1

浮点数也是一样的(有一些区别)，但是比特代表2^-n 2 ^ 1 = 1/2 = 0.5 2 ^ 2 = 1 / (2 * 2) = 0.25 2 ^ 3 = 0.125 2 ^ 4 = 0.0625

浮点二进制表示法:

符号指数分数(我认为无形的1被附加到分数) B11 b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

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