你不能用二进制精确地表示0.1，就像你不能用传统的英国尺测量0.1英寸一样。

英国的尺子，就像二进制分数一样，都是关于一半的。你可以测量半英寸，或四分之一英寸(当然是一半)，或八分之一，或十六分之一，等等。

If you want to measure a tenth of an inch, though, you're out of luck. It's less than an eighth of an inch, but more than a sixteenth. If you try to get more exact, you find that it's a little more than 3/32, but a little less than 7/64. I've never seen an actual ruler that had gradations finer than 64ths, but if you do the math, you'll find that 1/10 is less than 13/128, and it's more than 25/256, and it's more than 51/512. You can keep going finer and finer, to 1024ths and 2048ths and 4096ths and 8192nds, but you will never find an exact marking, even on an infinitely-fine base-2 ruler, that exactly corresponds to 1/10, or 0.1.

不过，你会发现一些有趣的事情。让我们看看我列出的所有近似值，对于每一个近似值，明确地记录0.1是大是小:

现在，如果向下读最后一列，就会得到0001100110011。1/10的无限重复二进制分数是0.0001100110011，这不是巧合……

BCD -二进制编码的十进制-表示是精确的。它们不是很节省空间，但在这种情况下，这是为了准确性而必须做出的权衡。

你们知道整数，对吧?每一位代表2^n

2 ^ 4 = 16 2 ^ 3 = 8 2 ^ 2 = 4 2 ^ 1 = 2 2 ^ 0 = 1

浮点数也是一样的(有一些区别)，但是比特代表2^-n 2 ^ 1 = 1/2 = 0.5 2 ^ 2 = 1 / (2 * 2) = 0.25 2 ^ 3 = 0.125 2 ^ 4 = 0.0625

浮点二进制表示法:

符号指数分数(我认为无形的1被附加到分数) B11 b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

重复一下我在给斯基特先生的评论中所说的话:我们可以用十进制表示1/3、1/9、1/27或任何有理数。我们通过添加一个额外的符号来实现。例如，在数字的十进制展开中重复的数字上的一行。将十进制数表示为二进制数序列所需要的是1)一个二进制数序列，2)一个基数点，以及3)一些其他符号来表示序列的重复部分。

赫纳的引用符号就是一种方法。他用引号表示序列中重复的部分。文章地址:http://www.cs.toronto.edu/~hehner/ratno.pdf，维基百科词条:http://en.wikipedia.org/wiki/Quote_notation。

并没有说我们不能在表示系统中添加一个符号，所以我们可以用二进制引号表示十进制有理数，反之亦然。

根(数学)原因是，当你处理整数时，它们是可数无限的。

这意味着，即使它们的数量是无限的，我们也可以“数出”序列中的所有项目，而不会跳过任何一项。这意味着，如果我们想要在列表中的第610000000000000th位置上得到一项，我们可以通过一个公式来计算它。

然而，实数是无限的。你不能说“给我位置610000000000000的真实数字”并得到一个答案。原因是，即使在0到1之间，当考虑浮点值时，也有无限个值。这同样适用于任何两个浮点数。

更多信息:

http://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set

更新: 很抱歉，我似乎误解了这个问题。我的回答是关于为什么我们不能表示每一个真实的值，我没有意识到浮点数被自动归类为理性。

有理数的数量是无限的，而用来表示有理数的比特的数量是有限的。见http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point # Accuracy_problems。