你们知道整数，对吧?每一位代表2^n

2 ^ 4 = 16 2 ^ 3 = 8 2 ^ 2 = 4 2 ^ 1 = 2 2 ^ 0 = 1

浮点数也是一样的(有一些区别)，但是比特代表2^-n 2 ^ 1 = 1/2 = 0.5 2 ^ 2 = 1 / (2 * 2) = 0.25 2 ^ 3 = 0.125 2 ^ 4 = 0.0625

浮点二进制表示法:

符号指数分数(我认为无形的1被附加到分数) B11 b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

有理数的数量是无限的，而用来表示有理数的比特的数量是有限的。见http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point # Accuracy_problems。

我很惊讶居然没有人说过:使用连分式。任何有理数都可以用二进制有限地表示。

一些例子:

1/3 (0.3333...)

0; 3

5/9 (0.5555...)

0; 1, 1, 4

10/43 (0.232558139534883720930...).

0; 4, 3, 3

9093/18478 (0.49209871198181621387596060179673...).

0; 2, 31, 7, 8, 5

从这里开始，有多种已知的方法可以在内存中存储整数序列。

除了精确地存储数字外，连分式还有其他一些好处，比如最佳有理逼近。如果您决定提前终止连分式中的数字序列，则剩余的数字(当重新组合为分数时)将给出可能的最佳分数。这是如何找到圆周率的近似值的:

π的连分式:

3; 7, 15, 1, 292 ...

在1处终止序列，得到的分数是:

355/113

这是一个很好的有理近似。

数字61.0确实有一个精确的浮点运算——但这并不是对所有整数都适用。如果您编写了一个循环，将一个双精度浮点数和一个64位整数都加了1，最终您将达到这样的情况:64位整数完美地表示一个数字，而浮点数却不能——因为没有足够的有效位。

只是在小数点右边求近似值要容易得多。如果你把所有的数字都写成二进制浮点数，这就更有意义了。

另一种思考的方式是，当你注意到61.0完全可以用10为底表示时，移动小数点并不会改变这一点，你是在执行10的幂乘法(10^1,10^-1)。在浮点数中，乘以2的幂并不影响数字的精度。试着用61.0反复除以3来说明一个非常精确的数字是如何失去它的精确表示的。

例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但6.10这个数字并不准确。我所做的只是把小数点移了一位突然间我就从精确乌托邦变成了不精确镇。从数学上讲，这两个数字之间不应该有本质差别——它们只是数字。

让我们暂时撇开以10为底和以2为底的细节。我们问一下，在以b为底的情况下，哪些数字有终止表示，哪些数字没有?稍微思考一下，我们就知道一个数字x有一个终止的b表示，当且仅当存在一个整数n，使得x b^n是一个整数。

例如，x = 11/500有一个终止10表示，因为我们可以选择n = 3，然后x b^n = 22，一个整数。但是x = 1/3不是，因为不管n取多少都不能消掉3。

第二个例子促使我们思考因子，我们可以看到，对于任何有理数x = p/q(假设是最小值)，我们可以通过比较b和q的质因数分解来回答这个问题。如果q有任何不在b的质因数分解中的质因数，我们将永远无法找到一个合适的n来摆脱这些因数。

因此，对于以10为底的任何p/q，其中q有除2或5之外的素数因子，将没有终止表示。

现在回到以10和2为底，我们看到任何以10为底的有理数都是p/q的形式当q的质因数分解中只有2s和5s时;当q的质因数分解中只有2时，同样的数会有一个终止的2表示。

但其中一个案例是另一个案例的子集!每当

Q的质因数分解只有2

这显然也是正确的

Q的质因数分解只有2和5

换句话说，只要p/q有终止的2表示，p/q就有终止的10表示。然而反过来就不成立了——只要q的质因数分解中有一个5，它就会有一个终止的10表示，而不是终止的2表示。这是其他答案提到的0.1的例子。

这就是问题的答案了因为2的质因数是10的质因数的子集，所以所有以2结尾的数都是以10结尾的数，反之则不然。不是61比6.1，而是10比2。

最后提醒一下，如果有些人使用17进制，而我们的计算机使用5进制，你的直觉永远不会被这引入歧途——在这两种情况下都不会有(非零，非整数)数字终止!

你不能用二进制精确地表示0.1，就像你不能用传统的英国尺测量0.1英寸一样。

英国的尺子，就像二进制分数一样，都是关于一半的。你可以测量半英寸，或四分之一英寸(当然是一半)，或八分之一，或十六分之一，等等。

If you want to measure a tenth of an inch, though, you're out of luck. It's less than an eighth of an inch, but more than a sixteenth. If you try to get more exact, you find that it's a little more than 3/32, but a little less than 7/64. I've never seen an actual ruler that had gradations finer than 64ths, but if you do the math, you'll find that 1/10 is less than 13/128, and it's more than 25/256, and it's more than 51/512. You can keep going finer and finer, to 1024ths and 2048ths and 4096ths and 8192nds, but you will never find an exact marking, even on an infinitely-fine base-2 ruler, that exactly corresponds to 1/10, or 0.1.

不过，你会发现一些有趣的事情。让我们看看我列出的所有近似值，对于每一个近似值，明确地记录0.1是大是小:

现在，如果向下读最后一列，就会得到0001100110011。1/10的无限重复二进制分数是0.0001100110011，这不是巧合……