数字61.0确实有一个精确的浮点运算——但这并不是对所有整数都适用。如果您编写了一个循环，将一个双精度浮点数和一个64位整数都加了1，最终您将达到这样的情况:64位整数完美地表示一个数字，而浮点数却不能——因为没有足够的有效位。

只是在小数点右边求近似值要容易得多。如果你把所有的数字都写成二进制浮点数，这就更有意义了。

另一种思考的方式是，当你注意到61.0完全可以用10为底表示时，移动小数点并不会改变这一点，你是在执行10的幂乘法(10^1,10^-1)。在浮点数中，乘以2的幂并不影响数字的精度。试着用61.0反复除以3来说明一个非常精确的数字是如何失去它的精确表示的。

这和你不能精确地以10为基数表示1/3的原因是一样的，你需要说0.33333(3)。在二进制中，这是相同类型的问题，只是发生在不同的数字集上。

你们知道整数，对吧?每一位代表2^n

2 ^ 4 = 16 2 ^ 3 = 8 2 ^ 2 = 4 2 ^ 1 = 2 2 ^ 0 = 1

浮点数也是一样的(有一些区别)，但是比特代表2^-n 2 ^ 1 = 1/2 = 0.5 2 ^ 2 = 1 / (2 * 2) = 0.25 2 ^ 3 = 0.125 2 ^ 4 = 0.0625

浮点二进制表示法:

符号指数分数(我认为无形的1被附加到分数) B11 b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

在等式中

2^x = y ;  
x = log(y) / log(2)

因此，我想知道我们是否可以有一个二进制的对数制，

 2^1, 2^0, 2^(log(1/2) / log(2)), 2^(log(1/4) / log(2)), 2^(log(1/8) / log(2)),2^(log(1/16) / log(2)) ........

这也许能解决问题，所以如果你想把32.41写成二进制，那就是

2^5 + 2^(log(0.4) / log(2)) + 2^(log(0.01) / log(2))

Or

2^5 + 2^(log(0.41) / log(2))

我很惊讶居然没有人说过:使用连分式。任何有理数都可以用二进制有限地表示。

一些例子:

1/3 (0.3333...)

0; 3

5/9 (0.5555...)

0; 1, 1, 4

10/43 (0.232558139534883720930...).

0; 4, 3, 3

9093/18478 (0.49209871198181621387596060179673...).

0; 2, 31, 7, 8, 5

从这里开始，有多种已知的方法可以在内存中存储整数序列。

除了精确地存储数字外，连分式还有其他一些好处，比如最佳有理逼近。如果您决定提前终止连分式中的数字序列，则剩余的数字(当重新组合为分数时)将给出可能的最佳分数。这是如何找到圆周率的近似值的:

π的连分式:

3; 7, 15, 1, 292 ...

在1处终止序列，得到的分数是:

355/113

这是一个很好的有理近似。

你不能用二进制精确地表示0.1，就像你不能用传统的英国尺测量0.1英寸一样。

英国的尺子，就像二进制分数一样，都是关于一半的。你可以测量半英寸，或四分之一英寸(当然是一半)，或八分之一，或十六分之一，等等。

If you want to measure a tenth of an inch, though, you're out of luck. It's less than an eighth of an inch, but more than a sixteenth. If you try to get more exact, you find that it's a little more than 3/32, but a little less than 7/64. I've never seen an actual ruler that had gradations finer than 64ths, but if you do the math, you'll find that 1/10 is less than 13/128, and it's more than 25/256, and it's more than 51/512. You can keep going finer and finer, to 1024ths and 2048ths and 4096ths and 8192nds, but you will never find an exact marking, even on an infinitely-fine base-2 ruler, that exactly corresponds to 1/10, or 0.1.

不过，你会发现一些有趣的事情。让我们看看我列出的所有近似值，对于每一个近似值，明确地记录0.1是大是小:

现在，如果向下读最后一列，就会得到0001100110011。1/10的无限重复二进制分数是0.0001100110011，这不是巧合……