有几个关于浮点表示法的问题被提交给了SO。例如,十进制数0.1没有精确的二进制表示,因此使用==操作符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示法背后的原理。

我不明白的是,为什么从数学的角度来看,小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”?

例如,数字61.0具有精确的二进制表示,因为任何数字的整数部分总是精确的。但6.10这个数字并不准确。我所做的只是把小数点移了一位突然间我就从精确乌托邦变成了不精确镇。从数学上讲,这两个数字之间不应该有本质差别——它们只是数字。

相比之下,如果我把小数点向另一个方向移动一位,得到数字610,我仍然在Exactopia。我可以继续往这个方向(6100,610000000,610000000000000)它们仍然是完全,完全,完全的。但是一旦小数点越过某个阈值,这些数字就不再精确了。

这是怎么呢

编辑:为了澄清,我不想讨论诸如IEEE之类的行业标准表示,而是坚持我所相信的数学上的“纯粹”方式。以10为基数,位置值为:

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中,它们将是:

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

这些数字也没有任意的限制。位置向左和向右无限增加。


当前回答

根(数学)原因是,当你处理整数时,它们是可数无限的。

这意味着,即使它们的数量是无限的,我们也可以“数出”序列中的所有项目,而不会跳过任何一项。这意味着,如果我们想要在列表中的第610000000000000th位置上得到一项,我们可以通过一个公式来计算它。

然而,实数是无限的。你不能说“给我位置610000000000000的真实数字”并得到一个答案。原因是,即使在0到1之间,当考虑浮点值时,也有无限个值。这同样适用于任何两个浮点数。

更多信息:

http://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set

更新: 很抱歉,我似乎误解了这个问题。我的回答是关于为什么我们不能表示每一个真实的值,我没有意识到浮点数被自动归类为理性。

其他回答

根(数学)原因是,当你处理整数时,它们是可数无限的。

这意味着,即使它们的数量是无限的,我们也可以“数出”序列中的所有项目,而不会跳过任何一项。这意味着,如果我们想要在列表中的第610000000000000th位置上得到一项,我们可以通过一个公式来计算它。

然而,实数是无限的。你不能说“给我位置610000000000000的真实数字”并得到一个答案。原因是,即使在0到1之间,当考虑浮点值时,也有无限个值。这同样适用于任何两个浮点数。

更多信息:

http://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set

更新: 很抱歉,我似乎误解了这个问题。我的回答是关于为什么我们不能表示每一个真实的值,我没有意识到浮点数被自动归类为理性。

有理数的数量是无限的,而用来表示有理数的比特的数量是有限的。见http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point # Accuracy_problems。

在等式中

2^x = y ;  
x = log(y) / log(2)

因此,我想知道我们是否可以有一个二进制的对数制,

 2^1, 2^0, 2^(log(1/2) / log(2)), 2^(log(1/4) / log(2)), 2^(log(1/8) / log(2)),2^(log(1/16) / log(2)) ........

这也许能解决问题,所以如果你想把32.41写成二进制,那就是

2^5 + 2^(log(0.4) / log(2)) + 2^(log(0.01) / log(2))

Or

2^5 + 2^(log(0.41) / log(2))

问题是你并不知道这个数字是否真的是61.0。考虑一下:

浮动a = 60; 浮动b = 0.1; c = a + b * 10;

c的值是多少?它不是61,因为b不是。1因为。1不是精确的二进制表示。

你不能用二进制精确地表示0.1,就像你不能用传统的英国尺测量0.1英寸一样。

英国的尺子,就像二进制分数一样,都是关于一半的。你可以测量半英寸,或四分之一英寸(当然是一半),或八分之一,或十六分之一,等等。

If you want to measure a tenth of an inch, though, you're out of luck. It's less than an eighth of an inch, but more than a sixteenth. If you try to get more exact, you find that it's a little more than 3/32, but a little less than 7/64. I've never seen an actual ruler that had gradations finer than 64ths, but if you do the math, you'll find that 1/10 is less than 13/128, and it's more than 25/256, and it's more than 51/512. You can keep going finer and finer, to 1024ths and 2048ths and 4096ths and 8192nds, but you will never find an exact marking, even on an infinitely-fine base-2 ruler, that exactly corresponds to 1/10, or 0.1.

不过,你会发现一些有趣的事情。让我们看看我列出的所有近似值,对于每一个近似值,明确地记录0.1是大是小:

fraction decimal 0.1 is... as 0/1
1/2 0.5 less 0
1/4 0.25 less 0
1/8 0.125 less 0
1/16 0.0625 greater 1
3/32 0.09375 greater 1
7/64 0.109375 less 0
13/128 0.1015625 less 0
25/256 0.09765625 greater 1
51/512 0.099609375 greater 1
103/1024 0.1005859375 less 0
205/2048 0.10009765625 less 0
409/4096 0.099853515625 greater 1
819/8192 0.0999755859375 greater 1

现在,如果向下读最后一列,就会得到0001100110011。1/10的无限重复二进制分数是0.0001100110011,这不是巧合……