有几个关于浮点表示法的问题被提交给了SO。例如，十进制数0.1没有精确的二进制表示，因此使用==操作符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示法背后的原理。
我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”?
例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但6.10这个数字并不准确。我所做的只是把小数点移了一位突然间我就从精确乌托邦变成了不精确镇。从数学上讲，这两个数字之间不应该有本质差别——它们只是数字。
相比之下，如果我把小数点向另一个方向移动一位，得到数字610，我仍然在Exactopia。我可以继续往这个方向(6100,610000000,610000000000000)它们仍然是完全，完全，完全的。但是一旦小数点越过某个阈值，这些数字就不再精确了。
这是怎么呢
编辑:为了澄清，我不想讨论诸如IEEE之类的行业标准表示，而是坚持我所相信的数学上的“纯粹”方式。以10为基数，位置值为:
... 1000 100 10 1 1/10 1/100 ...
在二进制中，它们将是:
... 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 ...
这些数字也没有任意的限制。位置向左和向右无限增加。
根(数学)原因是，当你处理整数时，它们是可数无限的。
这意味着，即使它们的数量是无限的，我们也可以“数出”序列中的所有项目，而不会跳过任何一项。这意味着，如果我们想要在列表中的第610000000000000th位置上得到一项，我们可以通过一个公式来计算它。
然而，实数是无限的。你不能说“给我位置610000000000000的真实数字”并得到一个答案。原因是，即使在0到1之间，当考虑浮点值时，也有无限个值。这同样适用于任何两个浮点数。
更多信息:
http://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable_set
更新:
很抱歉，我似乎误解了这个问题。我的回答是关于为什么我们不能表示每一个真实的值，我没有意识到浮点数被自动归类为理性。
如果你有足够的空间，十进制数可以精确地表示出来——只是不能用浮点二进制数表示。如果您使用浮点小数点类型(例如System。. net中的十进制)，那么许多不能用二进制浮点数精确表示的值都可以被精确表示。
让我们从另一个角度来看——以10为基数，你可能会觉得舒服，你不能准确地表示1/3。这是0.3333333……(重复)。不能将0.1表示为二进制浮点数的原因与此完全相同。你可以表示3 9和27，但不是1/3 1/9或1/27。
问题是3是质数，不是10的因数。当你想将一个数乘以3时，这不是一个问题:你总是可以乘以一个整数而不会遇到问题。但是当你除以一个质数而不是底数的因数时，你就会遇到麻烦(如果你试图用1除以这个数，你就会遇到麻烦)。
虽然0.1通常被用作精确十进制数的最简单例子，它不能用二进制浮点数精确表示，但可以说0.2是一个更简单的例子，因为它是1/5，而5是导致十进制和二进制之间存在问题的素数。
边注:处理有限表示的问题:
Some floating decimal point types have a fixed size like System.Decimal others like java.math.BigDecimal are "arbitrarily large" - but they'll hit a limit at some point, whether it's system memory or the theoretical maximum size of an array. This is an entirely separate point to the main one of this answer, however. Even if you had a genuinely arbitrarily large number of bits to play with, you still couldn't represent decimal 0.1 exactly in a floating binary point representation. Compare that with the other way round: given an arbitrary number of decimal digits, you can exactly represent any number which is exactly representable as a floating binary point.
我很惊讶居然没有人说过:使用连分式。任何有理数都可以用二进制有限地表示。
一些例子:
1/3 (0.3333...)
0; 3
5/9 (0.5555...)
0; 1, 1, 4
10/43 (0.232558139534883720930...).
0; 4, 3, 3
9093/18478 (0.49209871198181621387596060179673...).
0; 2, 31, 7, 8, 5
从这里开始，有多种已知的方法可以在内存中存储整数序列。
除了精确地存储数字外，连分式还有其他一些好处，比如最佳有理逼近。如果您决定提前终止连分式中的数字序列，则剩余的数字(当重新组合为分数时)将给出可能的最佳分数。这是如何找到圆周率的近似值的:
π的连分式:
3; 7, 15, 1, 292 ...
在1处终止序列，得到的分数是:
355/113
这是一个很好的有理近似。
