你回答了不少不错的问题。我将加入:

函子，在数学意义上，是代数上一种特殊的函数。它是将一个代数映射到另一个代数的最小函数。“极简性”用函子定律来表示。

有两种方式来看待这个问题。例如，列表是某些类型的函子。也就是说，给定类型为“a”的代数，您可以生成包含类型为“a”的列表的兼容代数。(例如:将一个元素带到包含它的单元素列表的映射:f(a) = [a])同样，兼容性的概念是由函子定律表示的。

另一方面,鉴于函子f / a型,(也就是说,f是应用函子的结果f的代数a型),从g和功能:- > b,我们可以计算一个新的函子f = (fmap g)映射f a到f b。简而言之,fmap是f的一部分映射“函子零件”“函子零件”,和g函数的一部分,“代数”映射到“代数部分”。它接受一个函数，一个函子，一旦完成，它也是一个函子。

看起来不同的语言使用不同的函子概念，但事实并非如此。它们只是在不同的代数上使用函子。OCamls有一个模块代数，这个代数上的函子允许您以一种“兼容”的方式将新声明附加到模块。

Haskell函子不是类型类。它是一个具有满足类型类的自由变量的数据类型。如果您愿意深入挖掘数据类型的精髓(没有自由变量)，您可以通过底层代数将数据类型重新解释为函子。例如:

数据F = F Int

是整型类的同构。F，作为一个值构造函数，是一个将Int映射到F Int的函数，一个等价的代数。它是一个函子。另一方面，这里的fmap不是免费的。这就是模式匹配的作用。

函子很适合以一种代数相容的方式将事物“附加”到代数元素上。

考虑到其他的答案和我现在要发布的内容，我想说这是一个相当沉重的重载词，但无论如何……

关于Haskell中'functor'这个词的含义，可以问GHCi:

Prelude> :info Functor
class Functor f where
  fmap :: forall a b. (a -> b) -> f a -> f b
  (GHC.Base.<$) :: forall a b. a -> f b -> f a
        -- Defined in GHC.Base
instance Functor Maybe -- Defined in Data.Maybe
instance Functor [] -- Defined in GHC.Base
instance Functor IO -- Defined in GHC.Base

基本上，Haskell中的函子是可以被映射的。另一种说法是，函子是可以被视为容器的东西，它可以被要求使用给定的函数来转换它所包含的值;因此，对于列表，fmap与map重合，对于Maybe, fmap f (Just x) = Just (f x)， fmap f Nothing = Nothing等。

函子类型类小节和《Learn You a Haskell for Great Good》的函子、应用函子和Monoids小节给出了一些例子，说明这个特定概念在哪里有用。(总结一下:很多地方!: -))

请注意，任何单子都可以被视为函子，事实上，正如Craig Stuntz所指出的，最常用的函子往往是单子……对了，有时使一个类型成为Functor类型类的实例是很方便的，而不需要麻烦地使它成为一个单子。(例如，在Control中的ZipList的情况下。适用，在前面提到的页面之一。)

简单地说，函子或函数对象是可以像函数一样调用的类对象。

在c++中:

这就是写函数的方法

void foo()
{
    cout << "Hello, world! I'm a function!";
}

这就是写函子的方法

class FunctorClass
{
    public:
    void operator ()
    {
        cout << "Hello, world! I'm a functor!";
    }
};

现在你可以这样做:

foo(); //result: Hello, World! I'm a function!

FunctorClass bar;
bar(); //result: Hello, World! I'm a functor!

这样做的好处是可以将state保存在类中——想象一下，如果您想询问一个函数被调用了多少次。没有办法以简洁、封装的方式做到这一点。对于函数对象，它就像任何其他类一样:你有一些实例变量，你在operator()中增加它，还有一些方法来检查这个变量，一切都很整齐。

这里的其他答案是完整的，但我将尝试另一种解释FP使用函子。我们来做个类比:

函子是类型为A的容器，当它受到从A→b映射的函数的作用时，将产生类型为b的容器。

与c++中使用的抽象函数指针不同，这里函子不是函数;相反，它是一种在受到某个函数影响时表现一致的东西。

这是一篇关于函子的编程文章，后面更具体地介绍了它们是如何在编程语言中出现的。

函子的实际使用是在单子中，如果你想找的话，你可以找到很多关于单子的教程。

在投票最多的答案下，网友Wei Hu问道:

我理解ml -函子和haskell -函子，但缺乏 将它们联系在一起的洞察力。这两者之间是什么关系 二，在分类理论的意义上?

注:本人不懂ML，如有错误请见谅。

让我们首先假设我们都熟悉“范畴”和“函子”的定义。

一个紧凑的答案是，“haskell -函子”是(endo-)函子F: Hask -> Hask，而“ML-函子”是函子G: ML- > ML'。

这里，Hask是由Haskell类型和它们之间的函数组成的类别，类似地，ML和ML'是由ML结构定义的类别。

注意:将Hask作为一个类别存在一些技术问题，但有一些方法可以绕过它们。

从范畴论的角度来看，这意味着hask -函子是Haskell类型的映射F:

data F a = ...

伴随着Haskell函数的map fmap:

instance Functor F where
    fmap f = ...

ML是差不多的，尽管我不知道有一个规范的fmap抽象，所以让我们定义一个:

signature FUNCTOR = sig
  type 'a f
  val fmap: 'a -> 'b -> 'a f -> 'b f
end

f映射ml -类型fmap映射ml -函数

functor StructB (StructA : SigA) :> FUNCTOR =
struct
  fmap g = ...
  ...
end

是一个函子F: StructA -> StructB。