通过使用重心坐标的解析解(由Andreas Brinck指出)和:

不是把乘法分布在括号里的项上 通过存储相同的项来避免多次计算 还原比较(如coproc和Thomas Eding所指出的)

可以最小化“昂贵”操作的数量:

function ptInTriangle(p, p0, p1, p2) {
    var dX = p.x-p2.x;
    var dY = p.y-p2.y;
    var dX21 = p2.x-p1.x;
    var dY12 = p1.y-p2.y;
    var D = dY12*(p0.x-p2.x) + dX21*(p0.y-p2.y);
    var s = dY12*dX + dX21*dY;
    var t = (p2.y-p0.y)*dX + (p0.x-p2.x)*dY;
    if (D<0) return s<=0 && t<=0 && s+t>=D;
    return s>=0 && t>=0 && s+t<=D;
}

代码可以粘贴在Perro Azul jsfiddle中，或者通过点击下面的“运行代码片段”来尝试

var ctx = $("canvas")[0].getContext("2d"); var W = 500; var H = 500; var point = { x: W / 2, y: H / 2 }; var triangle = randomTriangle(); $("canvas").click(function(evt) { point.x = evt.pageX - $(this).offset().left; point.y = evt.pageY - $(this).offset().top; test(); }); $("canvas").dblclick(function(evt) { triangle = randomTriangle(); test(); }); test(); function test() { var result = ptInTriangle(point, triangle.a, triangle.b, triangle.c); var info = "point = (" + point.x + "," + point.y + ")\n"; info += "triangle.a = (" + triangle.a.x + "," + triangle.a.y + ")\n"; info += "triangle.b = (" + triangle.b.x + "," + triangle.b.y + ")\n"; info += "triangle.c = (" + triangle.c.x + "," + triangle.c.y + ")\n"; info += "result = " + (result ? "true" : "false"); $("#result").text(info); render(); } function ptInTriangle(p, p0, p1, p2) { var A = 1/2 * (-p1.y * p2.x + p0.y * (-p1.x + p2.x) + p0.x * (p1.y - p2.y) + p1.x * p2.y); var sign = A < 0 ? -1 : 1; var s = (p0.y * p2.x - p0.x * p2.y + (p2.y - p0.y) * p.x + (p0.x - p2.x) * p.y) * sign; var t = (p0.x * p1.y - p0.y * p1.x + (p0.y - p1.y) * p.x + (p1.x - p0.x) * p.y) * sign; return s > 0 && t > 0 && (s + t) < 2 * A * sign; } function render() { ctx.fillStyle = "#CCC"; ctx.fillRect(0, 0, 500, 500); drawTriangle(triangle.a, triangle.b, triangle.c); drawPoint(point); } function drawTriangle(p0, p1, p2) { ctx.fillStyle = "#999"; ctx.beginPath(); ctx.moveTo(p0.x, p0.y); ctx.lineTo(p1.x, p1.y); ctx.lineTo(p2.x, p2.y); ctx.closePath(); ctx.fill(); ctx.fillStyle = "#000"; ctx.font = "12px monospace"; ctx.fillText("1", p0.x, p0.y); ctx.fillText("2", p1.x, p1.y); ctx.fillText("3", p2.x, p2.y); } function drawPoint(p) { ctx.fillStyle = "#F00"; ctx.beginPath(); ctx.arc(p.x, p.y, 5, 0, 2 * Math.PI); ctx.fill(); } function rand(min, max) { return Math.floor(Math.random() * (max - min + 1)) + min; } function randomTriangle() { return { a: { x: rand(0, W), y: rand(0, H) }, b: { x: rand(0, W), y: rand(0, H) }, c: { x: rand(0, W), y: rand(0, H) } }; } <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/1.9.1/jquery.min.js"></script> <pre>Click: place the point. Double click: random triangle.</pre> <pre id="result"></pre> <canvas width="500" height="500"></canvas>

导致:

变量“召回”:30 可变存储:7 补充:4 减法:8 乘法:6 部门:没有 比较:4

这与Kornel Kisielewicz解决方案(25次召回，1次存储，15次减法，6次乘法，5次比较)相比非常好，如果需要顺时针/逆时针检测(它本身需要6次召回，1次加法，2次减法，2次乘法和1次比较，使用解析解行列式，如rhgb所指出的)，可能会更好。

我在最后一次尝试谷歌和找到这个页面之前写了这段代码，所以我想我应该分享它。它基本上是Kisielewicz答案的优化版本。我也研究了重心法，但从维基百科的文章来看，我很难看出它是如何更有效的(我猜有一些更深层次的等价性)。不管怎样，这个算法的优点是不用除法;一个潜在的问题是边缘检测的行为取决于方向。

bool intpoint_inside_trigon(intPoint s, intPoint a, intPoint b, intPoint c)
{
    int as_x = s.x - a.x;
    int as_y = s.y - a.y;

    bool s_ab = (b.x - a.x) * as_y - (b.y - a.y) * as_x > 0;

    if ((c.x - a.x) * as_y - (c.y - a.y) * as_x > 0 == s_ab) 
        return false;
    if ((c.x - b.x) * (s.y - b.y) - (c.y - b.y)*(s.x - b.x) > 0 != s_ab) 
        return false;
    return true;
}

换句话说，思想是这样的:点s是在直线AB和直线AC的左边还是右边?如果是真的，它就不可能在里面。如果为假，则至少在“锥”内满足条件。现在，因为我们知道三角形(三角形)内的一个点必须与BC(以及CA)在AB的同一侧，我们检查它们是否不同。如果有，s就不可能在里面，否则s一定在里面。

计算中的一些关键字是线半平面和行列式(2x2叉乘)。也许一个更有教学意义的方法是将它看作是一个在AB、BC和CA的同一侧(左或右)的点。然而，上面的方法似乎更适合进行一些优化。

有一些恼人的边条件，即一个点恰好在两个相邻三角形的公共边上。这个点不可能在两个三角形中，也不可能不在两个三角形中。你需要一种任意但一致的方式来分配点。例如，画一条横线穿过这个点。如果这条直线与三角形的另一边在右侧相交，则该点被视为在三角形内。如果交点在左边，则该点在外面。

如果该点所在的直线是水平的，则使用above/below。

如果该点位于多个三角形的公共顶点上，则使用该点与中心点形成的角最小的三角形。

更有趣的是:三个点可以在一条直线上(零度)，例如(0,0)-(0,10)-(0,5)。在三角剖分算法中，“耳朵”(0,10)必须被切掉，生成的“三角形”是直线的退化情况。

我要做的是预先计算三个面法线，

在三维中通过边向量和面法向量的叉乘得到。 通过简单地交换分量和负一个，

对于任意一条边的内/外都是边法线和点到点向量的点积，改变符号。重复其他两(或更多)面。

好处:

在同一个三角形上进行多点测试，很多都是预先计算好的。 早期拒签的常见情况是外分多内分。(如果点分布偏向一侧，可以先测试这一侧。)

bool isInside( float x, float y, float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3 ) {
  float l1 = (x-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y-y1), 
    l2 = (x-x2)*(y1-y2) - (x1-x2)*(y-y2), 
    l3 = (x-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y-y3);
  return (l1>0 && l2>0  && l3>0) || (l1<0 && l2<0 && l3<0);
}

没有比这更有效率的了!三角形的每边都可以有独立的位置和方向，因此需要进行l1、l2和l3三个计算，每个计算需要进行2次乘法。一旦l1, l2和l3是已知的，结果只是一些基本的比较和布尔运算。

老实说，这就像Simon P Steven的回答一样简单，但是用这种方法，你无法控制你是否想要包含三角形边缘上的点。

我的方法有点不同，但非常基本。考虑下面的三角形;

为了在三角形中有这个点我们必须满足三个条件

ACE角(绿色)应小于ACB角(红色) ECB角(蓝色)应小于ACB角(红色) 当点E和点C的x和y值应用于|AB|直线方程时，点E和点C的符号应该相同。

在此方法中，您可以完全控制单独包含或排除边缘上的点。所以你可以检查一个点是否在三角形中，例如，只包括|AC|边。

所以我的JavaScript解决方案是这样的;

function isInTriangle(t,p){ function isInBorder(a,b,c,p){ var m = (a.y - b.y) / (a.x - b.x); // calculate the slope return Math.sign(p.y - m*p.x + m*a.x - a.y) === Math.sign(c.y - m*c.x + m*a.x - a.y); } function findAngle(a,b,c){ // calculate the C angle from 3 points. var ca = Math.hypot(c.x-a.x, c.y-a.y), // ca edge length cb = Math.hypot(c.x-b.x, c.y-b.y), // cb edge length ab = Math.hypot(a.x-b.x, a.y-b.y); // ab edge length return Math.acos((ca*ca + cb*cb - ab*ab) / (2*ca*cb)); // return the C angle } var pas = t.slice(1) .map(tp => findAngle(p,tp,t[0])), // find the angle between (p,t[0]) with (t[1],t[0]) & (t[2],t[0]) ta = findAngle(t[1],t[2],t[0]); return pas[0] < ta && pas[1] < ta && isInBorder(t[1],t[2],t[0],p); } var triangle = [{x:3, y:4},{x:10, y:8},{x:6, y:10}], point1 = {x:3, y:9}, point2 = {x:7, y:9}; console.log(isInTriangle(triangle,point1)); console.log(isInTriangle(triangle,point2));