我正在寻找确定长值是否为完美平方（即其平方根是另一个整数）的最快方法：
我使用内置的Math.sqrt（）以简单的方式完成了这项工作函数，但我想知道是否有一种方法可以通过将自己限制为仅限整数的域。维护查找表是不切实际的（因为平方小于263的231.5个整数）。
下面是我现在做的非常简单明了的方法：
public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
if (n < 0)
return false;
long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
return tst*tst == n;
}
注意：我在许多Project Euler问题中都使用了这个函数。因此，其他人将永远不必维护此代码。而这种微优化实际上可能会有所不同，因为挑战的一部分是在不到一分钟的时间内完成每一个算法，而在某些问题中，这个函数需要调用数百万次。
我尝试了不同的解决方案：
经过详尽的测试，我发现不需要在Math.sqrt（）的结果上加0.5，至少在我的机器上是这样。快速平方根逆运算速度更快，但对于n>=410881，它给出了错误的结果。然而，正如BobbyShaftoe所建议的，我们可以在n<410881时使用FISR黑客。牛顿的方法比Math.sqrt（）慢得多。这可能是因为Math.sqr（）使用了类似于牛顿方法的东西，但在硬件中实现，所以比Java快得多。此外，牛顿法仍然需要使用双精度。一个经过修改的牛顿方法使用了一些技巧，因此只涉及整数数学，需要一些技巧来避免溢出（我希望这个函数可以处理所有64位有符号的正整数），而且它仍然比math.sqrt（）慢。二元斩更慢。这是有意义的，因为二进制斩波平均需要16次才能找到64位数字的平方根。根据John的测试，在C++中使用or语句比使用switch更快，但在Java和C#中，or和switch之间似乎没有区别。我还尝试创建一个查找表（作为64个布尔值的私有静态数组）。然后，我只说if（lookup[（int）（n&0x3F）]）｛test｝else return false；，而不是switch或or语句；。令我惊讶的是，这（只是稍微）慢了一些。这是因为在Java中检查数组边界。
这个问题让我很疑惑，所以我做了一些简单的编码，我在这里介绍它，因为我觉得它很有趣，很相关，但我不知道它有多有用。有一个简单的算法
a_n+1 = (a_n + x/a_n)/2
用于计算平方根，但它用于小数。我想知道，如果我只是用整数数学编码相同的算法，会发生什么。它甚至会汇聚到正确的答案上吗？我不知道，所以我写了一个程序。。。
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
_Bool isperfectsquare(uint64_t x, uint64_t *isqrtx) {
// NOTE: isqrtx approximate for non-squares. (benchmarked at 162ns 3GHz i5)
uint32_t i;
uint64_t ai;
ai = 1 + ((x & 0xffff000000000000) >> 32) + ((x & 0xffff00000000) >> 24) + ((x & 0xffff0000) >> 16);
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = (ai + x/ai)/2;
ai = ai & 0xffffffff;
if (isqrtx != NULL) isqrtx[0] = ai;
return ai*ai == x;
}
void main() {
uint64_t x, isqrtx;
uint64_t i;
for (i=1; i<0x100000000; i++) {
if (!isperfectsquare(i*i, &isqrtx)) {
printf("Failed at %li", i);
exit(1);
}
}
printf("All OK.\n");
}
因此，事实证明，该公式的12次迭代足以为所有64位无符号长整数（完美平方）提供正确的结果，当然，非平方将返回false。
simon@simon-Inspiron-N5040:~$ time ./isqrt.bin
All OK.
real 11m37.096s
user 11m35.053s
sys 0m0.272s
因此697s/2^32约为162纳秒。实际上，该函数对于所有输入都具有相同的运行时。讨论中其他地方详细介绍的一些措施可以通过检查最后四位等来加快非正方形的速度。希望有人像我一样觉得这很有趣。
考虑到一般的比特长度（尽管我在这里使用了特定的类型），我试图设计如下的简单算法。最初需要对0,1,2或<0进行简单而明显的检查。以下是简单的，因为它不试图使用任何现有的数学函数。大多数运算符可以用逐位运算符替换。我还没有用任何基准数据进行测试。我既不是数学专家，也不是计算机算法设计专家，我很乐意看到你们指出这个问题。我知道那里有很多改进的机会。
int main()
{
unsigned int c1=0 ,c2 = 0;
unsigned int x = 0;
unsigned int p = 0;
int k1 = 0;
scanf("%d",&p);
if(p % 2 == 0) {
x = p/2;
}
else {
x = (p/2) +1;
}
while(x)
{
if((x*x) > p) {
c1 = x;
x = x/2;
}else {
c2 = x;
break;
}
}
if((p%2) != 0)
c2++;
while(c2 < c1)
{
if((c2 * c2 ) == p) {
k1 = 1;
break;
}
c2++;
}
if(k1)
printf("\n Perfect square for %d", c2);
else
printf("\n Not perfect but nearest to :%d :", c2);
return 0;
}
这里有一个分而治之的解决方案。
如果自然数（数字）的平方根是自然数（解），您可以根据数字的位数轻松确定解的范围：
数字有1位：范围内的解=1-4数字有2位数：范围内的解=3-10数字有3位数：范围内的解=10-40数字有4位数字：范围=30-100数字有5位数：范围内的解=100-400
注意到重复了吗？
您可以在二进制搜索方法中使用此范围，以查看是否存在以下解决方案：
number == solution * solution
这是密码
这是我的类SquareRootChecker
public class SquareRootChecker {
private long number;
private long initialLow;
private long initialHigh;
public SquareRootChecker(long number) {
this.number = number;
initialLow = 1;
initialHigh = 4;
if (Long.toString(number).length() % 2 == 0) {
initialLow = 3;
initialHigh = 10;
}
for (long i = 0; i < Long.toString(number).length() / 2; i++) {
initialLow *= 10;
initialHigh *= 10;
}
if (Long.toString(number).length() % 2 == 0) {
initialLow /= 10;
initialHigh /=10;
}
}
public boolean checkSquareRoot() {
return findSquareRoot(initialLow, initialHigh, number);
}
private boolean findSquareRoot(long low, long high, long number) {
long check = low + (high - low) / 2;
if (high >= low) {
if (number == check * check) {
return true;
}
else if (number < check * check) {
high = check - 1;
return findSquareRoot(low, high, number);
}
else {
low = check + 1;
return findSquareRoot(low, high, number);
}
}
return false;
}
}
下面是一个如何使用它的示例。
long number = 1234567;
long square = number * number;
SquareRootChecker squareRootChecker = new SquareRootChecker(square);
System.out.println(square + ": " + squareRootChecker.checkSquareRoot()); //Prints "1524155677489: true"
long notSquare = square + 1;
squareRootChecker = new SquareRootChecker(notSquare);
System.out.println(notSquare + ": " + squareRootChecker.checkSquareRoot()); //Prints "1524155677490: false"
你必须做一些基准测试。最佳算法将取决于输入的分布。
您的算法可能接近最佳，但在调用平方根例程之前，您可能需要快速检查以排除某些可能性。例如，通过按位“和”查看十六进制数字的最后一位。完美的正方形只能以0、1、4或9结尾，以16为底。因此，对于75%的输入（假设它们是均匀分布的），可以避免调用平方根，以换取一些非常快的位旋转。
Kip对实现十六进制技巧的以下代码进行了基准测试。当测试数字1到100000000时，此代码的运行速度是原始代码的两倍。
public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
if (n < 0)
return false;
switch((int)(n & 0xF))
{
case 0: case 1: case 4: case 9:
long tst = (long)Math.sqrt(n);
return tst*tst == n;
default:
return false;
}
}
当我在C++中测试类似的代码时，它实际上比原始代码运行得慢。然而，当我消除switch语句时，十六进制技巧再次使代码速度提高了一倍。
int isPerfectSquare(int n)
{
int h = n & 0xF; // h is the last hex "digit"
if (h > 9)
return 0;
// Use lazy evaluation to jump out of the if statement as soon as possible
if (h != 2 && h != 3 && h != 5 && h != 6 && h != 7 && h != 8)
{
int t = (int) floor( sqrt((double) n) + 0.5 );
return t*t == n;
}
return 0;
}
消除switch语句对C#代码几乎没有影响。
