不确定这是否是最快的方法，但这是我（很久以前在高中）在数学课上无聊地玩计算器时偶然发现的。当时，我真的很惊讶这是有效的。。。

public static boolean isIntRoot(int number) {
    return isIntRootHelper(number, 1);
}

private static boolean isIntRootHelper(int number, int index) {
    if (number == index) {
        return true;
    }
    if (number < index) {
        return false;
    }
    else {
        return isIntRootHelper(number - 2 * index, index + 1);
    }
}

如果速度是一个问题，为什么不将最常用的一组输入及其值划分到一个查找表中，然后执行您针对特殊情况提出的任何优化魔术算法？

使用牛顿的方法计算整数平方根，然后对这个数字进行平方并进行检查，这应该快得多，就像您在当前解决方案中所做的那样。牛顿方法是其他答案中提到的卡马克解的基础。你应该能够得到更快的答案，因为你只对根的整数部分感兴趣，这样你就可以更快地停止近似算法。

另一个可以尝试的优化：如果数字的数字根不以1、4、7或9这个数字不是一个完美的正方形。这可以作为在应用较慢的平方根算法之前消除60%输入的快速方法。

这是旧的Marchant计算器算法（抱歉，我没有参考）从十进制到二进制的修改，在Ruby中，专门针对这个问题进行了修改：

def isexactsqrt(v)
    value = v.abs
    residue = value
    root = 0
    onebit = 1
    onebit <<= 8 while (onebit < residue)
    onebit >>= 2 while (onebit > residue)
    while (onebit > 0)
        x = root + onebit
        if (residue >= x) then
            residue -= x
            root = x + onebit
        end
        root >>= 1
        onebit >>= 2
    end
    return (residue == 0)
end

这里有一个类似的处理方法（可能有编码风格/气味或笨拙的O/O——重要的是算法，C++不是我的母语）。在这种情况下，我们要查找残数==0：

#include <iostream>  

using namespace std;  
typedef unsigned long long int llint;

class ISqrt {           // Integer Square Root
    llint value;        // Integer whose square root is required
    llint root;         // Result: floor(sqrt(value))
    llint residue;      // Result: value-root*root
    llint onebit, x;    // Working bit, working value

public:

    ISqrt(llint v = 2) {    // Constructor
        Root(v);            // Take the root 
    };

    llint Root(llint r) {   // Resets and calculates new square root
        value = r;          // Store input
        residue = value;    // Initialise for subtracting down
        root = 0;           // Clear root accumulator
        
        onebit = 1;                 // Calculate start value of counter
        onebit <<= (8*sizeof(llint)-2);         // Set up counter bit as greatest odd power of 2 
        while (onebit > residue) {onebit >>= 2; };  // Shift down until just < value
        
        while (onebit > 0) {
            x = root ^ onebit;          // Will check root+1bit (root bit corresponding to onebit is always zero)
            if (residue >= x) {         // Room to subtract?
                residue -= x;           // Yes - deduct from residue
                root = x + onebit;      // and step root
            };
            root >>= 1;
            onebit >>= 2;
        };
        return root;                    
    };
    llint Residue() {           // Returns residue from last calculation
        return residue;                 
    };
};

int main() {
    llint big, i, q, r, v, delta;
    big = 0; big = (big-1);         // Kludge for "big number"
    ISqrt b;                            // Make q sqrt generator
    for ( i = big; i > 0 ; i /= 7 ) {   // for several numbers
        q = b.Root(i);                  // Get the square root
        r = b.Residue();                // Get the residue
        v = q*q+r;                      // Recalc original value
        delta = v-i;                    // And diff, hopefully 0
        cout << i << ": " << q << " ++ " << r << " V: " << v << " Delta: " << delta << "\n";
    };
    return 0;
};

你必须做一些基准测试。最佳算法将取决于输入的分布。

您的算法可能接近最佳，但在调用平方根例程之前，您可能需要快速检查以排除某些可能性。例如，通过按位“和”查看十六进制数字的最后一位。完美的正方形只能以0、1、4或9结尾，以16为底。因此，对于75%的输入（假设它们是均匀分布的），可以避免调用平方根，以换取一些非常快的位旋转。

Kip对实现十六进制技巧的以下代码进行了基准测试。当测试数字1到100000000时，此代码的运行速度是原始代码的两倍。

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
    if (n < 0)
        return false;

    switch((int)(n & 0xF))
    {
    case 0: case 1: case 4: case 9:
        long tst = (long)Math.sqrt(n);
        return tst*tst == n;

    default:
        return false;
    }
}

当我在C++中测试类似的代码时，它实际上比原始代码运行得慢。然而，当我消除switch语句时，十六进制技巧再次使代码速度提高了一倍。

int isPerfectSquare(int n)
{
    int h = n & 0xF;  // h is the last hex "digit"
    if (h > 9)
        return 0;
    // Use lazy evaluation to jump out of the if statement as soon as possible
    if (h != 2 && h != 3 && h != 5 && h != 6 && h != 7 && h != 8)
    {
        int t = (int) floor( sqrt((double) n) + 0.5 );
        return t*t == n;
    }
    return 0;
}

消除switch语句对C#代码几乎没有影响。

不知道最快，但最简单的方法是以正常方式取平方根，将结果乘以自身，看看它是否与原始值匹配。

由于我们在这里讨论的是整数，fasted可能涉及一个集合，您可以在其中进行查找。