我有一条从a到B的直线和一个半径为R的圆。
用什么算法来检查直线是否与圆相交?它在圆边的哪个坐标上?
我有一条从a到B的直线和一个半径为R的圆。
用什么算法来检查直线是否与圆相交?它在圆边的哪个坐标上?
当前回答
也许有另一种方法来解决这个问题,使用坐标系的旋转。
通常,如果一个线段是水平的或垂直的,这意味着平行于x轴或y轴,交点的求解很容易,因为我们已经知道交点的一个坐标,如果有的话。剩下的显然是用圆的方程找到另一个坐标。
受此启发,我们可以利用坐标系旋转,使一个轴的方向与线段的方向重合。
让我们以圆x^2+y^2=1和线段P1-P2为例,P1(-1.5,0.5)和P2(-0.5,-0.5)在x-y系统中。下面的方程提醒你旋转的原理,其中是逆时针方向的角度,x'-y'是旋转后的方程组:
x'=x*cos () + y*sin () y' = - x*sin () + y*cos ()
和反向
X = X ' * cos - y' * sin Y = x' * sin + Y ' * cos
考虑P1-P2方向(用-x表示为45°),我们可以取=45°。将第二个旋转方程转化为x-y系统中的圆方程:x^2+y^2=1,经过简单的运算,我们得到x'-y'系统中的“相同”方程:x'^2+y'^2=1。
利用第一个旋转方程=> P1(-根号(2)/2,根号(2)),P2(-根号(2)/ 2,0),线段端点变成x'-y'系统。
假设交点为p,在x'-y'中,Px = -根号2 /2。使用新的圆方程,我们得到Py = +根号(2)/2。将P转换成原始的x-y系统,最终得到P(-1,0)
为了实现这个数值,我们可以先看看线段的方向:水平,垂直或不垂直。如果它属于前两种情况,很简单。如果是最后一种情况,应用上述算法。
为了判断是否有交集,我们可以将解与端点坐标进行比较,看看它们之间是否有一个根。
我相信只要我们有了它的方程,这个方法也可以应用于其他曲线。唯一的缺点是,我们应该在x'-y'坐标系下解方程,这可能很难。
其他回答
我只是需要它,所以我想出了这个解决方案。语言是maxscript,但是它应该很容易被翻译成任何其他语言。 sideA, sideB和CircleRadius为标量,其余变量为[x,y,z]。假设z=0在XY平面上求解
fn projectPoint p1 p2 p3 = --project p1 perpendicular to the line p2-p3
(
local v= normalize (p3-p2)
local p= (p1-p2)
p2+((dot v p)*v)
)
fn findIntersectionLineCircle CircleCenter CircleRadius LineP1 LineP2=
(
pp=projectPoint CircleCenter LineP1 LineP2
sideA=distance pp CircleCenter
--use pythagoras to solve the third side
sideB=sqrt(CircleRadius^2-sideA^2) -- this will return NaN if they don't intersect
IntersectV=normalize (pp-CircleCenter)
perpV=[IntersectV.y,-IntersectV.x,IntersectV.z]
--project the point to both sides to find the solutions
solution1=pp+(sideB*perpV)
solution2=pp-(sideB*perpV)
return #(solution1,solution2)
)
在此post circle中,通过检查圆心与线段上的点(Ipoint)之间的距离来检查线碰撞,该点表示从圆心到线段的法线N(图2)之间的交点。
(https://i.stack.imgur.com/3o6do.png)
在图像1中显示一个圆和一条直线,向量A指向线的起点,向量B指向线的终点,向量C指向圆的中心。现在我们必须找到向量E(从线起点到圆中心)和向量D(从线起点到线终点)这个计算如图1所示。
(https://i.stack.imgur.com/7098a.png)
在图2中,我们可以看到向量E通过向量E与单位向量D的“点积”投影到向量D上,点积的结果是标量Xp,表示向量N与向量D的直线起点与交点(Ipoint)之间的距离。 下一个向量X是由单位向量D和标量Xp相乘得到的。
现在我们需要找到向量Z(向量到Ipoint),它很容易它简单的向量加法向量A(在直线上的起点)和向量x。接下来我们需要处理特殊情况,我们必须检查是Ipoint在线段上,如果不是我们必须找出它是它的左边还是右边,我们将使用向量最接近来确定哪个点最接近圆。
(https://i.stack.imgur.com/p9WIr.png)
当投影Xp为负时,Ipoint在线段的左边,距离最近的向量等于线起点的向量,当投影Xp大于向量D的模时,距离最近的向量在线段的右边,距离最近的向量等于线终点的向量在其他情况下,距离最近的向量等于向量Z。
现在,当我们有最近的向量,我们需要找到从圆中心到Ipoint的向量(dist向量),很简单,我们只需要从中心向量减去最近的向量。接下来,检查向量距离的大小是否小于圆半径,如果是,那么它们就会碰撞,如果不是,就没有碰撞。
(https://i.stack.imgur.com/QJ63q.png)
最后,我们可以返回一些值来解决碰撞,最简单的方法是返回碰撞的重叠(从矢量dist magnitude中减去半径)和碰撞的轴,它的向量d。如果需要,交点是向量Z。
下面是JavaScript的一个很好的解决方案(包括所有必需的数学和实时插图) https://bl.ocks.org/milkbread/11000965
尽管该解决方案中的is_on函数需要修改:
函数is_on(a, b, c) { return Math.abs(距离(a,c) +距离(c,b) -距离(a,b))<0.000001; }
' VB.NET - Code
Function CheckLineSegmentCircleIntersection(x1 As Double, y1 As Double, x2 As Double, y2 As Double, xc As Double, yc As Double, r As Double) As Boolean
Static xd As Double = 0.0F
Static yd As Double = 0.0F
Static t As Double = 0.0F
Static d As Double = 0.0F
Static dx_2_1 As Double = 0.0F
Static dy_2_1 As Double = 0.0F
dx_2_1 = x2 - x1
dy_2_1 = y2 - y1
t = ((yc - y1) * dy_2_1 + (xc - x1) * dx_2_1) / (dy_2_1 * dy_2_1 + dx_2_1 * dx_2_1)
If 0 <= t And t <= 1 Then
xd = x1 + t * dx_2_1
yd = y1 + t * dy_2_1
d = Math.Sqrt((xd - xc) * (xd - xc) + (yd - yc) * (yd - yc))
Return d <= r
Else
d = Math.Sqrt((xc - x1) * (xc - x1) + (yc - y1) * (yc - y1))
If d <= r Then
Return True
Else
d = Math.Sqrt((xc - x2) * (xc - x2) + (yc - y2) * (yc - y2))
If d <= r Then
Return True
Else
Return False
End If
End If
End If
End Function
好吧,我不会给你代码,但既然你已经标记了这个算法,我认为这对你来说无关紧要。 首先,你要得到一个垂直于这条直线的向量。
y = ax + c是一个未知变量c是未知变量 为了解决这个问题,计算直线经过圆心时的值。
也就是说, 将圆心的位置代入直线方程,解出c。 然后计算原直线与其法线的交点。
这样就能得到直线上离圆最近的点。 计算该点到圆中心之间的距离(使用矢量的大小)。 如果这个小于圆的半径,看,我们有一个交点!