我有一条从a到B的直线和一个半径为R的圆。
用什么算法来检查直线是否与圆相交?它在圆边的哪个坐标上?
我有一条从a到B的直线和一个半径为R的圆。
用什么算法来检查直线是否与圆相交?它在圆边的哪个坐标上?
当前回答
我会用这个算法来计算点(圆心)和线(线AB)之间的距离。这可以用来确定直线与圆的交点。
假设有点A B c, Ax和Ay是A点的x和y分量。B和c也是一样,标量R是圆半径。
该算法要求A B C是不同的点,且R不为0。
这是算法
// compute the euclidean distance between A and B
LAB = sqrt( (Bx-Ax)²+(By-Ay)² )
// compute the direction vector D from A to B
Dx = (Bx-Ax)/LAB
Dy = (By-Ay)/LAB
// the equation of the line AB is x = Dx*t + Ax, y = Dy*t + Ay with 0 <= t <= LAB.
// compute the distance between the points A and E, where
// E is the point of AB closest the circle center (Cx, Cy)
t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay)
// compute the coordinates of the point E
Ex = t*Dx+Ax
Ey = t*Dy+Ay
// compute the euclidean distance between E and C
LEC = sqrt((Ex-Cx)²+(Ey-Cy)²)
// test if the line intersects the circle
if( LEC < R )
{
// compute distance from t to circle intersection point
dt = sqrt( R² - LEC²)
// compute first intersection point
Fx = (t-dt)*Dx + Ax
Fy = (t-dt)*Dy + Ay
// compute second intersection point
Gx = (t+dt)*Dx + Ax
Gy = (t+dt)*Dy + Ay
}
// else test if the line is tangent to circle
else if( LEC == R )
// tangent point to circle is E
else
// line doesn't touch circle
其他回答
基于@Joe Skeen的python解决方案
def check_line_segment_circle_intersection(line, point, radious):
""" Checks whether a point intersects with a line defined by two points.
A `point` is list with two values: [2, 3]
A `line` is list with two points: [point1, point2]
"""
line_distance = distance(line[0], line[1])
distance_start_to_point = distance(line[0], point)
distance_end_to_point = distance(line[1], point)
if (distance_start_to_point <= radious or distance_end_to_point <= radious):
return True
# angle between line and point with law of cosines
numerator = (math.pow(distance_start_to_point, 2)
+ math.pow(line_distance, 2)
- math.pow(distance_end_to_point, 2))
denominator = 2 * distance_start_to_point * line_distance
ratio = numerator / denominator
ratio = ratio if ratio <= 1 else 1 # To account for float errors
ratio = ratio if ratio >= -1 else -1 # To account for float errors
angle = math.acos(ratio)
# distance from the point to the line with sin projection
distance_line_to_point = math.sin(angle) * distance_start_to_point
if distance_line_to_point <= radious:
point_projection_in_line = math.cos(angle) * distance_start_to_point
# Intersection occurs whent the point projection in the line is less
# than the line distance and positive
return point_projection_in_line <= line_distance and point_projection_in_line >= 0
return False
def distance(point1, point2):
return math.sqrt(
math.pow(point1[1] - point2[1], 2) +
math.pow(point1[0] - point2[0], 2)
)
下面是JavaScript的一个很好的解决方案(包括所有必需的数学和实时插图) https://bl.ocks.org/milkbread/11000965
尽管该解决方案中的is_on函数需要修改:
函数is_on(a, b, c) { return Math.abs(距离(a,c) +距离(c,b) -距离(a,b))<0.000001; }
如果直线的坐标为A.x, A.y和B.x, B.y,圆心为C.x, C.y,则直线公式为:
x = A.x * t + B.x * (1 - t)
y = A.y * t + B.y * (1 - t)
0 < = t < = 1
这个圆是
(C.x - x)²+ (C.y - y)²= R²
如果你把直线的x和y公式代入圆公式,你会得到一个t的二阶方程,它的解是交点(如果有的话)。如果你得到的t小于0或大于1,那么它不是一个解,但它表明这条线“指向”圆的方向。
在此post circle中,通过检查圆心与线段上的点(Ipoint)之间的距离来检查线碰撞,该点表示从圆心到线段的法线N(图2)之间的交点。
(https://i.stack.imgur.com/3o6do.png)
在图像1中显示一个圆和一条直线,向量A指向线的起点,向量B指向线的终点,向量C指向圆的中心。现在我们必须找到向量E(从线起点到圆中心)和向量D(从线起点到线终点)这个计算如图1所示。
(https://i.stack.imgur.com/7098a.png)
在图2中,我们可以看到向量E通过向量E与单位向量D的“点积”投影到向量D上,点积的结果是标量Xp,表示向量N与向量D的直线起点与交点(Ipoint)之间的距离。 下一个向量X是由单位向量D和标量Xp相乘得到的。
现在我们需要找到向量Z(向量到Ipoint),它很容易它简单的向量加法向量A(在直线上的起点)和向量x。接下来我们需要处理特殊情况,我们必须检查是Ipoint在线段上,如果不是我们必须找出它是它的左边还是右边,我们将使用向量最接近来确定哪个点最接近圆。
(https://i.stack.imgur.com/p9WIr.png)
当投影Xp为负时,Ipoint在线段的左边,距离最近的向量等于线起点的向量,当投影Xp大于向量D的模时,距离最近的向量在线段的右边,距离最近的向量等于线终点的向量在其他情况下,距离最近的向量等于向量Z。
现在,当我们有最近的向量,我们需要找到从圆中心到Ipoint的向量(dist向量),很简单,我们只需要从中心向量减去最近的向量。接下来,检查向量距离的大小是否小于圆半径,如果是,那么它们就会碰撞,如果不是,就没有碰撞。
(https://i.stack.imgur.com/QJ63q.png)
最后,我们可以返回一些值来解决碰撞,最简单的方法是返回碰撞的重叠(从矢量dist magnitude中减去半径)和碰撞的轴,它的向量d。如果需要,交点是向量Z。
也许有另一种方法来解决这个问题,使用坐标系的旋转。
通常,如果一个线段是水平的或垂直的,这意味着平行于x轴或y轴,交点的求解很容易,因为我们已经知道交点的一个坐标,如果有的话。剩下的显然是用圆的方程找到另一个坐标。
受此启发,我们可以利用坐标系旋转,使一个轴的方向与线段的方向重合。
让我们以圆x^2+y^2=1和线段P1-P2为例,P1(-1.5,0.5)和P2(-0.5,-0.5)在x-y系统中。下面的方程提醒你旋转的原理,其中是逆时针方向的角度,x'-y'是旋转后的方程组:
x'=x*cos () + y*sin () y' = - x*sin () + y*cos ()
和反向
X = X ' * cos - y' * sin Y = x' * sin + Y ' * cos
考虑P1-P2方向(用-x表示为45°),我们可以取=45°。将第二个旋转方程转化为x-y系统中的圆方程:x^2+y^2=1,经过简单的运算,我们得到x'-y'系统中的“相同”方程:x'^2+y'^2=1。
利用第一个旋转方程=> P1(-根号(2)/2,根号(2)),P2(-根号(2)/ 2,0),线段端点变成x'-y'系统。
假设交点为p,在x'-y'中,Px = -根号2 /2。使用新的圆方程,我们得到Py = +根号(2)/2。将P转换成原始的x-y系统,最终得到P(-1,0)
为了实现这个数值,我们可以先看看线段的方向:水平,垂直或不垂直。如果它属于前两种情况,很简单。如果是最后一种情况,应用上述算法。
为了判断是否有交集,我们可以将解与端点坐标进行比较,看看它们之间是否有一个根。
我相信只要我们有了它的方程,这个方法也可以应用于其他曲线。唯一的缺点是,我们应该在x'-y'坐标系下解方程,这可能很难。