我一直在研究。net反汇编和GCC源代码,但似乎在任何地方都找不到sin()和其他数学函数的实际实现…他们似乎总是在引用别的东西。
有人能帮我找到他们吗?我觉得不太可能运行C语言的所有硬件都支持三角函数,所以一定有软件算法,对吧?
我知道有几种方法可以计算函数,并且为了好玩,我写了自己的例程来使用泰勒级数计算函数。我很好奇生产语言是如何做到这一点的,因为我的所有实现总是慢几个数量级,尽管我认为我的算法非常聪明(显然不是)。
我一直在研究。net反汇编和GCC源代码,但似乎在任何地方都找不到sin()和其他数学函数的实际实现…他们似乎总是在引用别的东西。
有人能帮我找到他们吗?我觉得不太可能运行C语言的所有硬件都支持三角函数,所以一定有软件算法,对吧?
我知道有几种方法可以计算函数,并且为了好玩,我写了自己的例程来使用泰勒级数计算函数。我很好奇生产语言是如何做到这一点的,因为我的所有实现总是慢几个数量级,尽管我认为我的算法非常聪明(显然不是)。
当前回答
像正弦和余弦这样的函数是在微处理器内部的微码中实现的。例如,英特尔芯片就有相应的组装指令。C编译器将生成调用这些汇编指令的代码。(相反,Java编译器不会。Java在软件而不是硬件中计算三角函数,因此运行速度要慢得多。)
芯片不使用泰勒级数来计算三角函数,至少不完全是这样。首先,他们使用CORDIC,但他们也可能使用一个短的泰勒级数来优化CORDIC的结果,或者用于特殊情况,例如在非常小的角度下以相对较高的精度计算正弦。有关更多解释,请参阅StackOverflow的回答。
其他回答
对于罪恶,用泰勒展开可以得到
Sin (x) = x - x^3/3!+ x ^ 5/5 !- x ^ 7/7 !+……(1)
您将继续添加项,直到它们之间的差异低于可接受的容忍水平,或者只是有限的步数(更快,但不太精确)。举个例子:
float sin(float x)
{
float res=0, pow=x, fact=1;
for(int i=0; i<5; ++i)
{
res+=pow/fact;
pow*=-1*x*x;
fact*=(2*(i+1))*(2*(i+1)+1);
}
return res;
}
注:(1)适用于小角度的近似值sin(x)=x。对于更大的角度,你需要计算越来越多的项才能得到可接受的结果。 你可以使用while参数并继续,以达到一定的准确性:
double sin (double x){
int i = 1;
double cur = x;
double acc = 1;
double fact= 1;
double pow = x;
while (fabs(acc) > .00000001 && i < 100){
fact *= ((2*i)*(2*i+1));
pow *= -1 * x*x;
acc = pow / fact;
cur += acc;
i++;
}
return cur;
}
是的,也有计算罪恶的软件算法。基本上,用数字计算机计算这些东西通常是用数值方法来完成的,比如近似表示函数的泰勒级数。
数值方法可以将函数近似到任意精度,因为浮点数的精度是有限的,所以它们非常适合这些任务。
如果你想犯罪
__asm__ __volatile__("fsin" : "=t"(vsin) : "0"(xrads));
如果你想的话,因为
__asm__ __volatile__("fcos" : "=t"(vcos) : "0"(xrads));
如果你想要根号方根
__asm__ __volatile__("fsqrt" : "=t"(vsqrt) : "0"(value));
那么,既然机器指令可以做到,为什么还要使用不准确的代码呢?
没有什么比点击源代码,看看人们是如何在常用的库中实际完成它的了;让我们特别看看一个C库实现。我选择了uLibC。
这是sin函数:
http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/s_sin.c
看起来它处理了一些特殊情况,然后执行一些参数约简,将输入映射到范围[-pi/4,pi/4],(将参数分成两部分,一个大的部分和一个尾巴),然后调用
http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/k_sin.c
然后作用于这两个部分。 如果没有尾巴,则使用13次多项式生成近似答案。 如果有尾巴,根据sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')y的原理,你会得到一个小的修正
关于sin(), cos(),tan()这样的三角函数,在5年之后,没有提到高质量三角函数的一个重要方面:极差约简。
任何这些函数的早期步骤都是将角度(以弧度为单位)减小到2*π区间。但是π是无理数,所以像x =余数(x, 2*M_PI)这样的简单简化会引入误差,因为M_PI或机器pi是π的近似值。那么,如何求x =余数(x, 2*π)呢?
早期的库使用扩展精度或精心设计的编程来提供高质量的结果,但仍然在有限的double范围内。当请求一个较大的值,如sin(pow(2,30))时,结果是无意义的或0.0,并且可能将错误标志设置为TLOSS完全损失精度或PLOSS部分损失精度。
将大的值缩小到像-π到π这样的区间是一个具有挑战性的问题,它可以与基本三角函数(比如sin())本身的挑战相媲美。
一个好的报告是大论点的论据缩减:好到最后一位(1992)。它涵盖了这个问题很好:讨论了需要和事情是如何在各种平台(SPARC, PC, HP, 30+其他),并提供了一个解决方案算法,为所有双从-DBL_MAX到DBL_MAX的高质量结果。
如果原始参数以度为单位,但可能值很大,则首先使用fmod()以提高精度。一个好的fmod()将不会引入任何错误,从而提供出色的范围缩小。
// sin(degrees2radians(x))
sin(degrees2radians(fmod(x, 360.0))); // -360.0 < fmod(x,360) < +360.0
各种三角恒等式和remquo()提供了更多的改进。示例:信德()