它如何做到这一点的本质在于杰拉德·惠特利的《应用数值分析》节选:

当你的软件程序要求计算机获取一个值时 或者，你有没有想过它是如何得到 如果它能计算的最强大的函数是多项式? 它不会在表中查找这些并进行插值!相反, 计算机逼近除多项式以外的所有函数 一个多项式，可以精确地给出值。

上面要提到的几点是，一些算法实际上是从表中插值的，尽管只是在前几次迭代中。还要注意它是如何提到计算机利用近似多项式而没有指定哪种类型的近似多项式。正如本文中其他人指出的那样，在这种情况下，切比雪夫多项式比泰勒多项式更有效。

如果你想犯罪

 __asm__ __volatile__("fsin" : "=t"(vsin) : "0"(xrads));

如果你想的话，因为

 __asm__ __volatile__("fcos" : "=t"(vcos) : "0"(xrads));

如果你想要根号方根

 __asm__ __volatile__("fsqrt" : "=t"(vsqrt) : "0"(value));

那么，既然机器指令可以做到，为什么还要使用不准确的代码呢?

计算正弦/余弦/正切其实很容易通过代码使用泰勒级数来实现。自己写一个只需5秒钟。

整个过程可以用这个方程来概括:

下面是我为C语言写的一些例程:

double _pow(double a, double b) {
    double c = 1;
    for (int i=0; i<b; i++)
        c *= a;
    return c;
}

double _fact(double x) {
    double ret = 1;
    for (int i=1; i<=x; i++) 
        ret *= i;
    return ret;
}

double _sin(double x) {
    double y = x;
    double s = -1;
    for (int i=3; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _cos(double x) {
    double y = 1;
    double s = -1;
    for (int i=2; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _tan(double x) {
     return (_sin(x)/_cos(x));  
}

在GNU libm中，sin的实现依赖于系统。因此，您可以在sysdeps的适当子目录中找到每个平台的实现。

一个目录包含一个由IBM贡献的C语言实现。自2011年10月以来，这是在典型的x86-64 Linux系统上调用sin()时实际运行的代码。它显然比汇编指令中的f_f快。源代码:sysdeps/ieee754/dbl-64/s_sin.c，查找__sin (double x)。

这段代码非常复杂。没有一种软件算法在整个x值范围内尽可能快且准确，因此库实现了几种不同的算法，它的第一项工作是查看x并决定使用哪种算法。

When x is very very close to 0, sin(x) == x is the right answer. A bit further out, sin(x) uses the familiar Taylor series. However, this is only accurate near 0, so... When the angle is more than about 7°, a different algorithm is used, computing Taylor-series approximations for both sin(x) and cos(x), then using values from a precomputed table to refine the approximation. When |x| > 2, none of the above algorithms would work, so the code starts by computing some value closer to 0 that can be fed to sin or cos instead. There's yet another branch to deal with x being a NaN or infinity.

这段代码使用了一些我以前从未见过的数值技巧，尽管据我所知，它们可能在浮点专家中很有名。有时几行代码需要几段文字来解释。例如，这两条线

double t = (x * hpinv + toint);
double xn = t - toint;

(有时)用于将x减小到接近0的值，该值与x相差π/2的倍数，特别是xn × π/2。这种没有划分或分支的方式相当聪明。但是没有任何评论!

旧的32位版本的GCC/glibc使用fsin指令，这对于某些输入是非常不准确的。有一篇精彩的博客文章用两行代码说明了这一点。

fdlibm在纯C中实现sin要比glibc简单得多，而且注释很好。源代码:fdlibm/s_sin.c和fdlibm/k_sin.c

如果你想要一个软件实现，而不是硬件实现，可以在《数值公式》的第5章中找到这个问题的明确答案。我的副本在一个盒子里，所以我不能给出细节，但简短的版本(如果我没记错的话)是你把tan(theta/2)作为你的基本操作，然后从那里计算其他的。计算是用级数近似完成的，但它比泰勒级数收敛得快得多。

抱歉，我没拿到书就想不起来了。

没有什么比点击源代码，看看人们是如何在常用的库中实际完成它的了;让我们特别看看一个C库实现。我选择了uLibC。

这是sin函数:

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/s_sin.c

看起来它处理了一些特殊情况，然后执行一些参数约简，将输入映射到范围[-pi/4,pi/4]，(将参数分成两部分，一个大的部分和一个尾巴)，然后调用

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/k_sin.c

然后作用于这两个部分。 如果没有尾巴，则使用13次多项式生成近似答案。 如果有尾巴，根据sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')y的原理，你会得到一个小的修正