没有什么比点击源代码，看看人们是如何在常用的库中实际完成它的了;让我们特别看看一个C库实现。我选择了uLibC。

这是sin函数:

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/s_sin.c

看起来它处理了一些特殊情况，然后执行一些参数约简，将输入映射到范围[-pi/4,pi/4]，(将参数分成两部分，一个大的部分和一个尾巴)，然后调用

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/k_sin.c

然后作用于这两个部分。 如果没有尾巴，则使用13次多项式生成近似答案。 如果有尾巴，根据sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')y的原理，你会得到一个小的修正

如果您想查看这些函数在C语言中的实际GNU实现，请查看glibc的最新主干。参见GNU C库。

我将尝试在一个C程序中回答sin()的情况，该程序用GCC的C编译器在当前的x86处理器(假设是Intel Core 2 Duo)上编译。

在C语言中，标准C库包含了一些常见的数学函数，而这些函数并不包含在语言本身中(例如pow, sin和cos分别表示幂，sin和cos)。它们的头文件包含在math.h中。

现在在GNU/Linux系统上，这些库函数是由glibc (GNU libc或GNU C库)提供的。但是GCC编译器希望您使用-lm编译器标志链接到数学库(libm.so)，以启用这些数学函数的使用。我不确定为什么它不是标准C库的一部分。这些将是浮点函数的软件版本，或“软浮动”。

题外话:将数学函数分开的原因由来已久，据我所知，可能是在共享库可用之前，它仅仅是为了在非常古老的Unix系统中减少可执行程序的大小。

Now the compiler may optimize the standard C library function sin() (provided by libm.so) to be replaced with an call to a native instruction to your CPU/FPU's built-in sin() function, which exists as an FPU instruction (FSIN for x86/x87) on newer processors like the Core 2 series (this is correct pretty much as far back as the i486DX). This would depend on optimization flags passed to the gcc compiler. If the compiler was told to write code that would execute on any i386 or newer processor, it would not make such an optimization. The -mcpu=486 flag would inform the compiler that it was safe to make such an optimization.

现在，如果程序执行sin()函数的软件版本，它将基于CORDIC(坐标旋转数字计算机)或BKM算法，或者更可能是现在通常用于计算此类超越函数的表格或幂级数计算。(Src: http://en.wikipedia.org/wiki/Cordic应用程序)

任何最新的gcc版本(大约2.9倍以来)也提供了内置的sin版本__builtin_sin()，作为优化，它将用于取代对C库版本的标准调用。

我相信这是非常清楚的，但希望给你更多的信息比你期望的，和许多出发点，以了解更多自己。

它如何做到这一点的本质在于杰拉德·惠特利的《应用数值分析》节选:

当你的软件程序要求计算机获取一个值时 或者，你有没有想过它是如何得到 如果它能计算的最强大的函数是多项式? 它不会在表中查找这些并进行插值!相反, 计算机逼近除多项式以外的所有函数 一个多项式，可以精确地给出值。

上面要提到的几点是，一些算法实际上是从表中插值的，尽管只是在前几次迭代中。还要注意它是如何提到计算机利用近似多项式而没有指定哪种类型的近似多项式。正如本文中其他人指出的那样，在这种情况下，切比雪夫多项式比泰勒多项式更有效。

计算正弦/余弦/正切其实很容易通过代码使用泰勒级数来实现。自己写一个只需5秒钟。

整个过程可以用这个方程来概括:

下面是我为C语言写的一些例程:

double _pow(double a, double b) {
    double c = 1;
    for (int i=0; i<b; i++)
        c *= a;
    return c;
}

double _fact(double x) {
    double ret = 1;
    for (int i=1; i<=x; i++) 
        ret *= i;
    return ret;
}

double _sin(double x) {
    double y = x;
    double s = -1;
    for (int i=3; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _cos(double x) {
    double y = 1;
    double s = -1;
    for (int i=2; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _tan(double x) {
     return (_sin(x)/_cos(x));  
}

关于sin()， cos()，tan()这样的三角函数，在5年之后，没有提到高质量三角函数的一个重要方面:极差约简。

任何这些函数的早期步骤都是将角度(以弧度为单位)减小到2*π区间。但是π是无理数，所以像x =余数(x, 2*M_PI)这样的简单简化会引入误差，因为M_PI或机器pi是π的近似值。那么，如何求x =余数(x, 2*π)呢?

早期的库使用扩展精度或精心设计的编程来提供高质量的结果，但仍然在有限的double范围内。当请求一个较大的值，如sin(pow(2,30))时，结果是无意义的或0.0，并且可能将错误标志设置为TLOSS完全损失精度或PLOSS部分损失精度。

将大的值缩小到像-π到π这样的区间是一个具有挑战性的问题，它可以与基本三角函数(比如sin())本身的挑战相媲美。

一个好的报告是大论点的论据缩减:好到最后一位(1992)。它涵盖了这个问题很好:讨论了需要和事情是如何在各种平台(SPARC, PC, HP, 30+其他)，并提供了一个解决方案算法，为所有双从-DBL_MAX到DBL_MAX的高质量结果。

如果原始参数以度为单位，但可能值很大，则首先使用fmod()以提高精度。一个好的fmod()将不会引入任何错误，从而提供出色的范围缩小。

// sin(degrees2radians(x))
sin(degrees2radians(fmod(x, 360.0))); // -360.0 < fmod(x,360) < +360.0

各种三角恒等式和remquo()提供了更多的改进。示例:信德()