逻辑表达式(a && b) (a和b都有布尔值)可以写成这样!(!例如，A || !b)。这是不是意味着&&是“不必要的”?这是否意味着所有的逻辑表达式只能使用||和!?
当前回答
您所描述的是功能完整性。
这描述了一组足以“表达所有可能的真值表”的逻辑运算符。您的Java操作符集{||，!}是足够的;它对应于集合{∨，¬}，这个集合在“最小函数完备算子集”一节中列出。
所有真值表的集合意味着4个布尔值的所有可能集合，它们可以是2个布尔值之间操作的结果。因为布尔值有2个可能的值，所以有24或16个可能的真值表。
A B | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T T T T T T T T F F F F F F F F
T F | T T T T F F F F T T T T F F F F
F T | T T F F T T F F T T F F T T F F
F F | T F T F T F T F T F T F T F T F
这里有一个真值表的数字(0-15)，||和!产生它的组合和描述。
Table | Operation(s) | Description
-------+----------------------------------+-------------
0 | A || !A | TRUE
1 | A || B | OR
2 | A || !B | B IMPLIES A
3 | A | A
4 | !A || B | A IMPLIES B
5 | B | B
6 | !(!A || !B) || !(A || B) | XNOR (equals)
7 | !(!A || !B) | AND
8 | !A || !B | NAND
9 | !(A || !B) || !(!A || B) | XOR
10 | !B | NOT B
11 | !(!A || B) | NOT A IMPLIES B
12 | !A | NOT A
13 | !(A || !B) | NOT B IMPLIES A
14 | !(A || B) | NOR
15 | !(A || !A) | FALSE
还有很多其他类似的功能完整集，包括一个元素集{NAND}和{NOR}，它们在Java中没有相应的单个操作符。
其他回答
如果可以的话，花点时间读读德摩根定律。
你可以在阅读材料中找到答案，还有逻辑证明的参考资料。
但本质上，答案是肯定的。
编辑:为了明确起见，我的观点是，从逻辑上讲，可以从AND表达式推断出OR表达式，反之亦然。关于逻辑等价和推理还有更多的法则，但我认为这一条是最恰当的。
编辑2:下面是通过真值表证明下面表达式的逻辑等价性。
德莫根定律:! !|| ! b) -> A && b
_____________________________________________________ | A | B | !A | !B | !A || !B | !(!A || !B) | A && B | ------------------------------------------------------- | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ------------------------------------------------------- | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | ------------------------------------------------------- | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | ------------------------------------------------------- | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | _______________________________________________________
是的。
所有的逻辑门都可以由NOR门制成。
由于NOR门可以由一个NOT和一个OR组成，结果如下。
您所描述的是功能完整性。
这描述了一组足以“表达所有可能的真值表”的逻辑运算符。您的Java操作符集{||，!}是足够的;它对应于集合{∨，¬}，这个集合在“最小函数完备算子集”一节中列出。
所有真值表的集合意味着4个布尔值的所有可能集合，它们可以是2个布尔值之间操作的结果。因为布尔值有2个可能的值，所以有24或16个可能的真值表。
A B | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T T T T T T T T F F F F F F F F
T F | T T T T F F F F T T T T F F F F
F T | T T F F T T F F T T F F T T F F
F F | T F T F T F T F T F T F T F T F
这里有一个真值表的数字(0-15)，||和!产生它的组合和描述。
Table | Operation(s) | Description
-------+----------------------------------+-------------
0 | A || !A | TRUE
1 | A || B | OR
2 | A || !B | B IMPLIES A
3 | A | A
4 | !A || B | A IMPLIES B
5 | B | B
6 | !(!A || !B) || !(A || B) | XNOR (equals)
7 | !(!A || !B) | AND
8 | !A || !B | NAND
9 | !(A || !B) || !(!A || B) | XOR
10 | !B | NOT B
11 | !(!A || B) | NOT A IMPLIES B
12 | !A | NOT A
13 | !(A || !B) | NOT B IMPLIES A
14 | !(A || B) | NOR
15 | !(A || !A) | FALSE
还有很多其他类似的功能完整集，包括一个元素集{NAND}和{NOR}，它们在Java中没有相应的单个操作符。
是的，正如其他答案所指出的，由||和!功能上是完整的。下面是一个建设性的证明，展示了如何使用它们来表达布尔变量a和B之间所有16个可能的逻辑连接:
A || A nand b: !A || B表示A: !B || A A暗示B: !A || B A或b: A || b B:不是 不是A: A xor b: !(!A || b) || (A || ! b) A xnor b: !|| ! b) || !(A || b) 答: B: B A或b: !(A || b) A并不意味着B: !A || b) B并不暗示A: !B || A和b: !(!|| ! b) (A || !A)
注意，NAND和NOR本身都是功能完备的(可以使用上面相同的方法来证明)，因此，如果您想验证一组操作符是否功能完备，只需证明可以用它来表示NAND或NOR就足够了。
下面是上面列出的每个连接词的维恩图:
(来源)
是的，根据布尔代数，任何布尔函数都可以表示为最小项的和或最大项的乘积，这被称为规范范式。这种逻辑没有理由不能应用于计算机科学中使用的相同运算符。
https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form
