https://mathoverflow.net/questions/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length我最喜欢这个解决方案，特别是4个长度:)

物理向导还说你必须做O(V^2)。我相信我们只需要O(V)/O(V+E)。 如果图是连通的，那么DFS将访问所有节点。如果图有连通的子图，那么每次我们在这个子图的顶点上运行DFS时，我们都会找到连通的顶点，并且不必为下一次运行DFS考虑这些。因此，对每个顶点运行的可能性是不正确的。

根据Cormen et al.， Introduction to Algorithms (CLRS)引理22.11:

有向图G是无环的当且仅当深度优先搜索G没有得到后边。

在几个回答中已经提到了这一点;在这里，我还将提供一个基于CLRS第22章的代码示例。示例图如下所示。

CLRS深度优先搜索的伪代码如下:

在CLRS图22.4中的示例中，图由两棵DFS树组成:一棵由节点u、v、x和y组成，另一棵由节点w和z组成。每棵树都包含一条后边:一条从x到v，另一条从z到z(一个自循环)。

关键的实现是，在DFS-VISIT函数中，当在u的邻居v上迭代时，遇到一个带有灰色的节点时，就会遇到后边缘。

下面的Python代码是CLRS伪代码的改编，添加了一个if子句，用于检测周期:

import collections


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges
        self.adj = Graph._build_adjacency_list(edges)

    @staticmethod
    def _build_adjacency_list(edges):
        adj = collections.defaultdict(list)
        for edge in edges:
            adj[edge[0]].append(edge[1])
            adj[edge[1]] # side effect only
        return adj


def dfs(G):
    discovered = set()
    finished = set()

    for u in G.adj:
        if u not in discovered and u not in finished:
            discovered, finished = dfs_visit(G, u, discovered, finished)


def dfs_visit(G, u, discovered, finished):
    discovered.add(u)

    for v in G.adj[u]:
        # Detect cycles
        if v in discovered:
            print(f"Cycle detected: found a back edge from {u} to {v}.")
            break

        # Recurse into DFS tree
        if v not in finished:
            dfs_visit(G, v, discovered, finished)

    discovered.remove(u)
    finished.add(u)

    return discovered, finished


if __name__ == "__main__":
    G = Graph([
        ('u', 'v'),
        ('u', 'x'),
        ('v', 'y'),
        ('w', 'y'),
        ('w', 'z'),
        ('x', 'v'),
        ('y', 'x'),
        ('z', 'z')])

    dfs(G)

注意，在本例中，CLRS伪代码中的时间没有被捕获，因为我们只对检测周期感兴趣。还有一些样板代码，用于从边列表构建图的邻接表表示。

当这个脚本执行时，它输出如下:

Cycle detected: found a back edge from x to v.
Cycle detected: found a back edge from z to z.

这些正是CLRS图22.4示例中的后边缘。

在我看来，在有向图中检测周期最容易理解的算法是图着色算法。

基本上，图着色算法以DFS方式(深度优先搜索，这意味着它在探索另一条路径之前完全探索一条路径)遍历图。当它找到后边缘时，它将图形标记为包含循环。

有关图着色算法的深入解释，请阅读这篇文章:http://www.geeksforgeeks.org/detect-cycle-direct-graph-using-colors/

另外，我在JavaScript https://github.com/dexcodeinc/graph_algorithm.js/blob/master/graph_algorithm.js中提供了一个图形着色的实现

如果DFS发现一条边指向一个已经访问过的顶点，那么这里就有一个循环。

There is no algorithm which can find all the cycles in a directed graph in polynomial time. Suppose, the directed graph has n nodes and every pair of the nodes has connections to each other which means you have a complete graph. So any non-empty subset of these n nodes indicates a cycle and there are 2^n-1 number of such subsets. So no polynomial time algorithm exists. So suppose you have an efficient (non-stupid) algorithm which can tell you the number of directed cycles in a graph, you can first find the strong connected components, then applying your algorithm on these connected components. Since cycles only exist within the components and not between them.

https://mathoverflow.net/questions/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length我最喜欢这个解决方案，特别是4个长度:)

物理向导还说你必须做O(V^2)。我相信我们只需要O(V)/O(V+E)。 如果图是连通的，那么DFS将访问所有节点。如果图有连通的子图，那么每次我们在这个子图的顶点上运行DFS时，我们都会找到连通的顶点，并且不必为下一次运行DFS考虑这些。因此，对每个顶点运行的可能性是不正确的。