有没有一种有效的算法来检测有向图中的循环?

我有一个有向图,表示需要执行的作业计划,作业是一个节点,依赖项是一个边。我需要检测这个图中导致循环依赖关系的循环的错误情况。


当前回答

正如你所说,你有一组作业,它需要按一定的顺序执行。给定作业调度所需顺序的拓扑排序(如果是直接的非循环图,则用于解决依赖问题)。运行dfs并维护一个列表,并在列表的开头开始添加node,如果您遇到一个已经被访问过的节点。然后在给定的图中找到一个循环。

其他回答

Tarjan的强连通分量算法的时间复杂度为O(|E| + |V|)。

有关其他算法,请参见维基百科上的强连接组件。

从DFS开始:当且仅当DFS期间发现后边缘时,循环存在。这是白径定理的结果。

如果DFS发现一条边指向一个已经访问过的顶点,那么这里就有一个循环。

根据Cormen et al., Introduction to Algorithms (CLRS)引理22.11:

有向图G是无环的当且仅当深度优先搜索G没有得到后边。

在几个回答中已经提到了这一点;在这里,我还将提供一个基于CLRS第22章的代码示例。示例图如下所示。

CLRS深度优先搜索的伪代码如下:

在CLRS图22.4中的示例中,图由两棵DFS树组成:一棵由节点u、v、x和y组成,另一棵由节点w和z组成。每棵树都包含一条后边:一条从x到v,另一条从z到z(一个自循环)。

关键的实现是,在DFS-VISIT函数中,当在u的邻居v上迭代时,遇到一个带有灰色的节点时,就会遇到后边缘。

下面的Python代码是CLRS伪代码的改编,添加了一个if子句,用于检测周期:

import collections


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges
        self.adj = Graph._build_adjacency_list(edges)

    @staticmethod
    def _build_adjacency_list(edges):
        adj = collections.defaultdict(list)
        for edge in edges:
            adj[edge[0]].append(edge[1])
            adj[edge[1]] # side effect only
        return adj


def dfs(G):
    discovered = set()
    finished = set()

    for u in G.adj:
        if u not in discovered and u not in finished:
            discovered, finished = dfs_visit(G, u, discovered, finished)


def dfs_visit(G, u, discovered, finished):
    discovered.add(u)

    for v in G.adj[u]:
        # Detect cycles
        if v in discovered:
            print(f"Cycle detected: found a back edge from {u} to {v}.")
            break

        # Recurse into DFS tree
        if v not in finished:
            dfs_visit(G, v, discovered, finished)

    discovered.remove(u)
    finished.add(u)

    return discovered, finished


if __name__ == "__main__":
    G = Graph([
        ('u', 'v'),
        ('u', 'x'),
        ('v', 'y'),
        ('w', 'y'),
        ('w', 'z'),
        ('x', 'v'),
        ('y', 'x'),
        ('z', 'z')])

    dfs(G)

注意,在本例中,CLRS伪代码中的时间没有被捕获,因为我们只对检测周期感兴趣。还有一些样板代码,用于从边列表构建图的邻接表表示。

当这个脚本执行时,它输出如下:

Cycle detected: found a back edge from x to v.
Cycle detected: found a back edge from z to z.

这些正是CLRS图22.4示例中的后边缘。

在我看来,在有向图中检测周期最容易理解的算法是图着色算法。

基本上,图着色算法以DFS方式(深度优先搜索,这意味着它在探索另一条路径之前完全探索一条路径)遍历图。当它找到后边缘时,它将图形标记为包含循环。

有关图着色算法的深入解释,请阅读这篇文章:http://www.geeksforgeeks.org/detect-cycle-direct-graph-using-colors/

另外,我在JavaScript https://github.com/dexcodeinc/graph_algorithm.js/blob/master/graph_algorithm.js中提供了一个图形着色的实现