Pólya说:“如果你不能解决一个问题，那么有一个更容易解决的问题:找到它。”

显然更简单的问题是一维问题(当网格是单行时)。让我们从最简单的算法开始——贪婪地轰炸最大的目标。什么时候会出问题?

给定11 11，贪婪算法对先炸毁哪个单元格无关。当然，中心单元格更好——它一次将所有三个单元格归零。这就提出了一种新的算法a，“炸弹最小化剩余的总和”。这个算法什么时候会出错?

给定1 1 2 11 1，算法A在轰炸第2，第3或第4单元格之间是无所谓的。但是轰炸第二个单元格，留下0 0 11 11比轰炸第三个单元格，留下10 10 10 10 1好。如何解决这个问题?轰炸第三个单元格的问题是，左边的功和右边的功必须分开做。

“炸弹使剩余的总和最小化，但使左边(我们轰炸的地方)的最小值和右边的最小值最大化”如何?叫这个算法b，这个算法什么时候出错?

编辑:在阅读了评论之后，我同意一个更有趣的问题将是改变一维问题，使其两端连接起来。很乐意看到这方面的进展。

永远不要轰炸边界(除非正方形没有边界以外的邻居) 零角落。 到零角，将对角线上一个正方形的角的值降低(唯一的非边界邻居) 这会产生新的角落。见第2节

编辑:没有注意到Kostek提出了几乎相同的方法，所以现在我提出了更强烈的主张: 如果要清除的角总是选择在最外层，那么它是最优的。

在OP的例子中:在除5之外的任何地方掉落2(1+1或2)并不会导致掉落5所能击中的任何方块。所以我们必须在5上加上2(在左下角加上6…)

在这之后，只有一种方法可以清除(在左上角)角落里原本是1(现在是0)的东西，那就是在B3上删除0(类似excel的符号)。 等等。

只有在清除了整个A和E列以及1和7行之后，才开始更深一层的清理。

考虑只清除那些故意清除的角落，清除0值的角落不需要花费任何成本，并且简化了思考。

因为所有以这种方式投掷的炸弹都必须被投掷，并且这将导致清除战场，这是最佳解决方案。

睡了一觉后，我意识到这不是真的。 考虑

  ABCDE    
1 01000
2 10000
3 00000
4 00000

我的方法是在B3和C2上投放炸弹，而在B2上投放炸弹就足够了

为了尽量减少炸弹的数量，我们必须最大化每个炸弹的效果。要做到这一点，每一步我们都要选择最好的目标。对于每一个点，它和它的八个邻居的总和，可以被用作轰炸这一点的效率量。这将提供接近最佳的炸弹序列。

UPD:我们还应该考虑到零的数量，因为轰炸它们效率很低。事实上，问题是最小化击中零的数量。但我们不知道每一步如何使我们更接近这个目标。我同意这个问题是np完全的。我建议用贪婪的方法，它会给出一个接近真实的答案。

Pólya说:“如果你不能解决一个问题，那么有一个更容易解决的问题:找到它。”

显然更简单的问题是一维问题(当网格是单行时)。让我们从最简单的算法开始——贪婪地轰炸最大的目标。什么时候会出问题?

给定11 11，贪婪算法对先炸毁哪个单元格无关。当然，中心单元格更好——它一次将所有三个单元格归零。这就提出了一种新的算法a，“炸弹最小化剩余的总和”。这个算法什么时候会出错?

给定1 1 2 11 1，算法A在轰炸第2，第3或第4单元格之间是无所谓的。但是轰炸第二个单元格，留下0 0 11 11比轰炸第三个单元格，留下10 10 10 10 1好。如何解决这个问题?轰炸第三个单元格的问题是，左边的功和右边的功必须分开做。

“炸弹使剩余的总和最小化，但使左边(我们轰炸的地方)的最小值和右边的最小值最大化”如何?叫这个算法b，这个算法什么时候出错?

编辑:在阅读了评论之后，我同意一个更有趣的问题将是改变一维问题，使其两端连接起来。很乐意看到这方面的进展。

Well, suppose we number the board positions 1, 2, ..., n x m. Any sequence of bomb drops can be represented by a sequence of numbers in this set, where numbers can repeat. However, the effect on the board is the same regardless of what order you drop the bombs in, so really any choice of bomb drops can be represented as a list of n x m numbers, where the first number represents the number of bombs dropped on position 1, the second number represents the number of bombs dropped on position 2, etc. Let's call this list of n x m numbers the "key".

你可以试着先计算1个炸弹投下的所有板子状态，然后用这些来计算2个炸弹投下的所有板子状态，等等，直到你得到所有的0。但是在每一步中，您都将使用上面定义的键缓存状态，因此您可以在计算下一步时使用这些结果(一种“动态规划”方法)。

但是根据n、m的大小和网格中的数字，这种方法的内存需求可能会过多。一旦你计算了N + 1的所有结果，你就可以抛弃N个炸弹投掷的所有结果，所以这里有一些节省。当然，您不能以花费更长的时间为代价缓存任何东西——动态编程方法以内存换取速度。

这是部分答案，我试图找到一个下界和上界，可能是炸弹的数量。

在3x3和更小的板上，解决方案通常是编号最大的单元。

在大于4x4的板中，第一个明显的下界是角的和:

*2* 3  7 *1*
 1  5  6  2
 2  1  3  2
*6* 9  6 *4*

无论你如何安排炸弹，都不可能用少于2+1+6+4=13个炸弹来清除这个4x4板。

在其他回答中已经提到，将炸弹放置在第二个角落以消除角落并不比将炸弹放置在角落本身更糟糕，所以考虑到棋盘:

*2* 3  4  7 *1*
 1  5  2  6  2
 4  3  4  2  1
 2  1  2  4  1
 3  1  3  4  1
 2  1  4  3  2
*6* 9  1  6 *4*

我们可以通过在第二个角上放置炸弹来将角归零，从而得到一个新的板:

 0  1  1  6  0
 0  3  0  5  1
 2  1  1  1  0
 2  1  2  4  1
 0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0
 0  3  0  2  0

到目前为止一切顺利。我们需要13枚炸弹才能清空角落。

现在观察下面标记的数字6、4、3和2:

 0  1  1 *6* 0
 0  3  0  5  1
 2  1  1  1  0
*2* 1  2 *4* 1
 0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0
 0 *3* 0  2  0

我们无法使用一枚炸弹去轰炸任何两个细胞，所以最小炸弹数量增加了6+4+3+2，所以再加上我们用来清除角落的炸弹数量，我们得到这张地图所需的最小炸弹数量变成了28枚炸弹。用少于28个炸弹是不可能清除这张地图的，这是这张地图的下限。

可以用贪心算法建立上界。其他答案表明，贪婪算法产生的解决方案使用28个炸弹。因为我们之前已经证明了没有一个最优解可以拥有少于28个炸弹，所以28个炸弹确实是一个最优解。

当贪心和我上面提到的寻找最小界的方法不收敛时，我猜你必须回去检查所有的组合。

求下界的算法如下:

选一个数值最大的元素，命名为P。 将所有距离P和P本身两步远的单元格标记为不可拾取。 将P添加到最小值列表中。 重复步骤1，直到所有单元格都不可拾取。 对最小值列表求和得到下界。