有几个关于浮点表示法的问题被提交给了SO。例如,十进制数0.1没有精确的二进制表示,因此使用==操作符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示法背后的原理。

我不明白的是,为什么从数学的角度来看,小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”?

例如,数字61.0具有精确的二进制表示,因为任何数字的整数部分总是精确的。但6.10这个数字并不准确。我所做的只是把小数点移了一位突然间我就从精确乌托邦变成了不精确镇。从数学上讲,这两个数字之间不应该有本质差别——它们只是数字。

相比之下,如果我把小数点向另一个方向移动一位,得到数字610,我仍然在Exactopia。我可以继续往这个方向(6100,610000000,610000000000000)它们仍然是完全,完全,完全的。但是一旦小数点越过某个阈值,这些数字就不再精确了。

这是怎么呢

编辑:为了澄清,我不想讨论诸如IEEE之类的行业标准表示,而是坚持我所相信的数学上的“纯粹”方式。以10为基数,位置值为:

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中,它们将是:

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

这些数字也没有任意的限制。位置向左和向右无限增加。


当前回答

在等式中

2^x = y ;  
x = log(y) / log(2)

因此,我想知道我们是否可以有一个二进制的对数制,

 2^1, 2^0, 2^(log(1/2) / log(2)), 2^(log(1/4) / log(2)), 2^(log(1/8) / log(2)),2^(log(1/16) / log(2)) ........

这也许能解决问题,所以如果你想把32.41写成二进制,那就是

2^5 + 2^(log(0.4) / log(2)) + 2^(log(0.01) / log(2))

Or

2^5 + 2^(log(0.41) / log(2))

其他回答

你不能用二进制精确地表示0.1,就像你不能用传统的英国尺测量0.1英寸一样。

英国的尺子,就像二进制分数一样,都是关于一半的。你可以测量半英寸,或四分之一英寸(当然是一半),或八分之一,或十六分之一,等等。

If you want to measure a tenth of an inch, though, you're out of luck. It's less than an eighth of an inch, but more than a sixteenth. If you try to get more exact, you find that it's a little more than 3/32, but a little less than 7/64. I've never seen an actual ruler that had gradations finer than 64ths, but if you do the math, you'll find that 1/10 is less than 13/128, and it's more than 25/256, and it's more than 51/512. You can keep going finer and finer, to 1024ths and 2048ths and 4096ths and 8192nds, but you will never find an exact marking, even on an infinitely-fine base-2 ruler, that exactly corresponds to 1/10, or 0.1.

不过,你会发现一些有趣的事情。让我们看看我列出的所有近似值,对于每一个近似值,明确地记录0.1是大是小:

fraction decimal 0.1 is... as 0/1
1/2 0.5 less 0
1/4 0.25 less 0
1/8 0.125 less 0
1/16 0.0625 greater 1
3/32 0.09375 greater 1
7/64 0.109375 less 0
13/128 0.1015625 less 0
25/256 0.09765625 greater 1
51/512 0.099609375 greater 1
103/1024 0.1005859375 less 0
205/2048 0.10009765625 less 0
409/4096 0.099853515625 greater 1
819/8192 0.0999755859375 greater 1

现在,如果向下读最后一列,就会得到0001100110011。1/10的无限重复二进制分数是0.0001100110011,这不是巧合……

这和你不能精确地以10为基数表示1/3的原因是一样的,你需要说0.33333(3)。在二进制中,这是相同类型的问题,只是发生在不同的数字集上。

有一个阈值,因为数字的含义已经从整数变成了非整数。要表示61,有6*10^1 + 1*10^0;10^1和10^0都是整数。6.1是6*10^0 + 1*10^-1,但10^-1是1/10,显然不是整数。这就是你在不精确镇的下场。

我很惊讶居然没有人说过:使用连分式。任何有理数都可以用二进制有限地表示。

一些例子:

1/3 (0.3333...)

0; 3

5/9 (0.5555...)

0; 1, 1, 4

10/43 (0.232558139534883720930...).

0; 4, 3, 3

9093/18478 (0.49209871198181621387596060179673...).

0; 2, 31, 7, 8, 5

从这里开始,有多种已知的方法可以在内存中存储整数序列。

除了精确地存储数字外,连分式还有其他一些好处,比如最佳有理逼近。如果您决定提前终止连分式中的数字序列,则剩余的数字(当重新组合为分数时)将给出可能的最佳分数。这是如何找到圆周率的近似值的:

π的连分式:

3; 7, 15, 1, 292 ...

在1处终止序列,得到的分数是:

355/113

这是一个很好的有理近似。

你们知道整数,对吧?每一位代表2^n

2 ^ 4 = 16 2 ^ 3 = 8 2 ^ 2 = 4 2 ^ 1 = 2 2 ^ 0 = 1

浮点数也是一样的(有一些区别),但是比特代表2^-n 2 ^ 1 = 1/2 = 0.5 2 ^ 2 = 1 / (2 * 2) = 0.25 2 ^ 3 = 0.125 2 ^ 4 = 0.0625

浮点二进制表示法:

符号指数分数(我认为无形的1被附加到分数) B11 b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0