为什么十进制数不能精确地用二进制表示?

有几个关于浮点表示法的问题被提交给了SO。例如，十进制数0.1没有精确的二进制表示，因此使用==操作符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示法背后的原理。

我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”?

例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但6.10这个数字并不准确。我所做的只是把小数点移了一位突然间我就从精确乌托邦变成了不精确镇。从数学上讲，这两个数字之间不应该有本质差别——它们只是数字。

相比之下，如果我把小数点向另一个方向移动一位，得到数字610，我仍然在Exactopia。我可以继续往这个方向(6100,610000000,610000000000000)它们仍然是完全，完全，完全的。但是一旦小数点越过某个阈值，这些数字就不再精确了。

这是怎么呢

编辑:为了澄清，我不想讨论诸如IEEE之类的行业标准表示，而是坚持我所相信的数学上的“纯粹”方式。以10为基数，位置值为:

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中，它们将是:

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

这些数字也没有任意的限制。位置向左和向右无限增加。

当前回答

在等式中

2^x = y ;  
x = log(y) / log(2)

因此，我想知道我们是否可以有一个二进制的对数制，

 2^1, 2^0, 2^(log(1/2) / log(2)), 2^(log(1/4) / log(2)), 2^(log(1/8) / log(2)),2^(log(1/16) / log(2)) ........

这也许能解决问题，所以如果你想把32.41写成二进制，那就是

2^5 + 2^(log(0.4) / log(2)) + 2^(log(0.01) / log(2))

2^5 + 2^(log(0.41) / log(2))

其他回答

这和你不能精确地以10为基数表示1/3的原因是一样的，你需要说0.33333(3)。在二进制中，这是相同类型的问题，只是发生在不同的数字集上。

问题是你并不知道这个数字是否真的是61.0。考虑一下:

浮动a = 60; 浮动b = 0.1; c = a + b * 10;

c的值是多少?它不是61，因为b不是。1因为。1不是精确的二进制表示。

数字61.0确实有一个精确的浮点运算——但这并不是对所有整数都适用。如果您编写了一个循环，将一个双精度浮点数和一个64位整数都加了1，最终您将达到这样的情况:64位整数完美地表示一个数字，而浮点数却不能——因为没有足够的有效位。

只是在小数点右边求近似值要容易得多。如果你把所有的数字都写成二进制浮点数，这就更有意义了。

另一种思考的方式是，当你注意到61.0完全可以用10为底表示时，移动小数点并不会改变这一点，你是在执行10的幂乘法(10^1,10^-1)。在浮点数中，乘以2的幂并不影响数字的精度。试着用61.0反复除以3来说明一个非常精确的数字是如何失去它的精确表示的。

分数和整数可以构成比例尺。有些分数，如1/7，如果没有很多很多的小数，就不能用十进制形式表示。因为浮点数是基于二进制的，所以特殊情况会发生变化，但同样的精度问题也会出现。

有一个阈值，因为数字的含义已经从整数变成了非整数。要表示61，有6*10^1 + 1*10^0;10^1和10^0都是整数。6.1是6*10^0 + 1*10^-1，但10^-1是1/10，显然不是整数。这就是你在不精确镇的下场。

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