我正在寻找确定长值是否为完美平方(即其平方根是另一个整数)的最快方法:

我使用内置的Math.sqrt()以简单的方式完成了这项工作函数,但我想知道是否有一种方法可以通过将自己限制为仅限整数的域。维护查找表是不切实际的(因为平方小于263的231.5个整数)。

下面是我现在做的非常简单明了的方法:

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
  if (n < 0)
    return false;

  long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
  return tst*tst == n;
}

注意:我在许多Project Euler问题中都使用了这个函数。因此,其他人将永远不必维护此代码。而这种微优化实际上可能会有所不同,因为挑战的一部分是在不到一分钟的时间内完成每一个算法,而在某些问题中,这个函数需要调用数百万次。


我尝试了不同的解决方案:

经过详尽的测试,我发现不需要在Math.sqrt()的结果上加0.5,至少在我的机器上是这样。快速平方根逆运算速度更快,但对于n>=410881,它给出了错误的结果。然而,正如BobbyShaftoe所建议的,我们可以在n<410881时使用FISR黑客。牛顿的方法比Math.sqrt()慢得多。这可能是因为Math.sqr()使用了类似于牛顿方法的东西,但在硬件中实现,所以比Java快得多。此外,牛顿法仍然需要使用双精度。一个经过修改的牛顿方法使用了一些技巧,因此只涉及整数数学,需要一些技巧来避免溢出(我希望这个函数可以处理所有64位有符号的正整数),而且它仍然比math.sqrt()慢。二元斩更慢。这是有意义的,因为二进制斩波平均需要16次才能找到64位数字的平方根。根据John的测试,在C++中使用or语句比使用switch更快,但在Java和C#中,or和switch之间似乎没有区别。我还尝试创建一个查找表(作为64个布尔值的私有静态数组)。然后,我只说if(lookup[(int)(n&0x3F)]){test}else return false;,而不是switch或or语句;。令我惊讶的是,这(只是稍微)慢了一些。这是因为在Java中检查数组边界。


当前回答

如果你做了一个二进制斩试图找到“正确”的平方根,你可以很容易地检测到你得到的值是否足够接近:

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1

因此,在计算了n^2之后,选项如下:

n ^2=目标:已完成,返回truen^2+2n+1>target>n^2:你很接近,但并不完美:return falsen^2-2n+1<目标<n^2:同上目标<n^2-2n+1:低位n上的二进制斩波目标>n^2+2n+1:较高n上的二进制斩波

(抱歉,这使用n作为您当前的猜测,并将其作为参数的目标。对此感到困惑深表歉意!)

我不知道这是否会更快,但值得一试。

编辑:二进制斩不必接受整个整数范围,或者(2^x)^2=2^(2x),所以一旦你在目标中找到了最高位(这可以用一个小技巧来完成;我完全忘记了怎么做),你就可以快速得到一系列可能的答案。请注意,一个简单的二进制斩仍然只需要31或32次迭代。

其他回答

如果最后的X位数字是N,那么应该可以更有效地包装“不能是完美的正方形”!我将使用java 32位int,并生成足够的数据来检查数字的最后16位,即2048个十六进制int值。

...

好吧。要么我遇到了一些超出我理解范围的数论,要么我的代码中有一个错误。无论如何,以下是代码:

public static void main(String[] args) {
    final int BITS = 16;

    BitSet foo = new BitSet();

    for(int i = 0; i< (1<<BITS); i++) {
        int sq = (i*i);
        sq = sq & ((1<<BITS)-1);
        foo.set(sq);
    }

    System.out.println("int[] mayBeASquare = {");

    for(int i = 0; i< 1<<(BITS-5); i++) {
        int kk = 0;
        for(int j = 0; j<32; j++) {
            if(foo.get((i << 5) | j)) {
                kk |= 1<<j;
            }
        }
        System.out.print("0x" + Integer.toHexString(kk) + ", ");
        if(i%8 == 7) System.out.println();
    }
    System.out.println("};");
}

结果如下:

(ed:由于pretify.js性能不佳而取消;查看修订历史以查看。)

为了表现,你经常不得不做一些宣传。其他人表达了不同的方法,然而,你注意到卡马克的黑客在达到N的某些值时更快。然后,你应该检查“N”,如果它小于N,请使用卡马克的方法,否则使用此处答案中描述的其他方法。

你必须做一些基准测试。最佳算法将取决于输入的分布。

您的算法可能接近最佳,但在调用平方根例程之前,您可能需要快速检查以排除某些可能性。例如,通过按位“和”查看十六进制数字的最后一位。完美的正方形只能以0、1、4或9结尾,以16为底。因此,对于75%的输入(假设它们是均匀分布的),可以避免调用平方根,以换取一些非常快的位旋转。

Kip对实现十六进制技巧的以下代码进行了基准测试。当测试数字1到100000000时,此代码的运行速度是原始代码的两倍。

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
    if (n < 0)
        return false;

    switch((int)(n & 0xF))
    {
    case 0: case 1: case 4: case 9:
        long tst = (long)Math.sqrt(n);
        return tst*tst == n;

    default:
        return false;
    }
}

当我在C++中测试类似的代码时,它实际上比原始代码运行得慢。然而,当我消除switch语句时,十六进制技巧再次使代码速度提高了一倍。

int isPerfectSquare(int n)
{
    int h = n & 0xF;  // h is the last hex "digit"
    if (h > 9)
        return 0;
    // Use lazy evaluation to jump out of the if statement as soon as possible
    if (h != 2 && h != 3 && h != 5 && h != 6 && h != 7 && h != 8)
    {
        int t = (int) floor( sqrt((double) n) + 0.5 );
        return t*t == n;
    }
    return 0;
}

消除switch语句对C#代码几乎没有影响。

使用牛顿的方法计算整数平方根,然后对这个数字进行平方并进行检查,这应该快得多,就像您在当前解决方案中所做的那样。牛顿方法是其他答案中提到的卡马克解的基础。你应该能够得到更快的答案,因为你只对根的整数部分感兴趣,这样你就可以更快地停止近似算法。

另一个可以尝试的优化:如果数字的数字根不以1、4、7或9这个数字不是一个完美的正方形。这可以作为在应用较慢的平方根算法之前消除60%输入的快速方法。

我希望此功能与所有正64位有符号整数

Math.sqrt()使用double作为输入参数,因此对于大于2^53的整数,不会得到准确的结果。