我正在寻找确定长值是否为完美平方(即其平方根是另一个整数)的最快方法:

我使用内置的Math.sqrt()以简单的方式完成了这项工作函数,但我想知道是否有一种方法可以通过将自己限制为仅限整数的域。维护查找表是不切实际的(因为平方小于263的231.5个整数)。

下面是我现在做的非常简单明了的方法:

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
  if (n < 0)
    return false;

  long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
  return tst*tst == n;
}

注意:我在许多Project Euler问题中都使用了这个函数。因此,其他人将永远不必维护此代码。而这种微优化实际上可能会有所不同,因为挑战的一部分是在不到一分钟的时间内完成每一个算法,而在某些问题中,这个函数需要调用数百万次。


我尝试了不同的解决方案:

经过详尽的测试,我发现不需要在Math.sqrt()的结果上加0.5,至少在我的机器上是这样。快速平方根逆运算速度更快,但对于n>=410881,它给出了错误的结果。然而,正如BobbyShaftoe所建议的,我们可以在n<410881时使用FISR黑客。牛顿的方法比Math.sqrt()慢得多。这可能是因为Math.sqr()使用了类似于牛顿方法的东西,但在硬件中实现,所以比Java快得多。此外,牛顿法仍然需要使用双精度。一个经过修改的牛顿方法使用了一些技巧,因此只涉及整数数学,需要一些技巧来避免溢出(我希望这个函数可以处理所有64位有符号的正整数),而且它仍然比math.sqrt()慢。二元斩更慢。这是有意义的,因为二进制斩波平均需要16次才能找到64位数字的平方根。根据John的测试,在C++中使用or语句比使用switch更快,但在Java和C#中,or和switch之间似乎没有区别。我还尝试创建一个查找表(作为64个布尔值的私有静态数组)。然后,我只说if(lookup[(int)(n&0x3F)]){test}else return false;,而不是switch或or语句;。令我惊讶的是,这(只是稍微)慢了一些。这是因为在Java中检查数组边界。


当前回答

如果速度是一个问题,为什么不将最常用的一组输入及其值划分到一个查找表中,然后执行您针对特殊情况提出的任何优化魔术算法?

其他回答

如果你做了一个二进制斩试图找到“正确”的平方根,你可以很容易地检测到你得到的值是否足够接近:

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1

因此,在计算了n^2之后,选项如下:

n ^2=目标:已完成,返回truen^2+2n+1>target>n^2:你很接近,但并不完美:return falsen^2-2n+1<目标<n^2:同上目标<n^2-2n+1:低位n上的二进制斩波目标>n^2+2n+1:较高n上的二进制斩波

(抱歉,这使用n作为您当前的猜测,并将其作为参数的目标。对此感到困惑深表歉意!)

我不知道这是否会更快,但值得一试。

编辑:二进制斩不必接受整个整数范围,或者(2^x)^2=2^(2x),所以一旦你在目标中找到了最高位(这可以用一个小技巧来完成;我完全忘记了怎么做),你就可以快速得到一系列可能的答案。请注意,一个简单的二进制斩仍然只需要31或32次迭代。

考虑到一般的比特长度(尽管我在这里使用了特定的类型),我试图设计如下的简单算法。最初需要对0,1,2或<0进行简单而明显的检查。以下是简单的,因为它不试图使用任何现有的数学函数。大多数运算符可以用逐位运算符替换。我还没有用任何基准数据进行测试。我既不是数学专家,也不是计算机算法设计专家,我很乐意看到你们指出这个问题。我知道那里有很多改进的机会。

int main()
{
    unsigned int c1=0 ,c2 = 0;  
    unsigned int x = 0;  
    unsigned int p = 0;  
    int k1 = 0;  
    scanf("%d",&p);  
    if(p % 2 == 0) {  
        x = p/2; 
    }  
    else {  
        x = (p/2) +1;  
    }  
    while(x) 
    {
        if((x*x) > p) {  
            c1 = x;  
            x = x/2; 
        }else {  
            c2 = x;  
            break;  
        }  
    }  
    if((p%2) != 0)  
        c2++;

    while(c2 < c1) 
    {  
        if((c2 * c2 ) == p) {  
            k1 = 1;  
            break;  
        }  
        c2++; 
    }  
    if(k1)  
        printf("\n Perfect square for %d", c2);  
    else  
        printf("\n Not perfect but nearest to :%d :", c2);  
    return 0;  
}  

当观察到正方形的最后n位时,我检查了所有可能的结果。通过连续检查更多位,可以消除多达5/6的输入。我实际上是为了实现费马的因子分解算法而设计的,而且速度非常快。

public static boolean isSquare(final long val) {
   if ((val & 2) == 2 || (val & 7) == 5) {
     return false;
   }
   if ((val & 11) == 8 || (val & 31) == 20) {
     return false;
   }

   if ((val & 47) == 32 || (val & 127) == 80) {
     return false;
   }

   if ((val & 191) == 128 || (val & 511) == 320) {
     return false;
   }

   // if((val & a == b) || (val & c == d){
   //   return false;
   // }

   if (!modSq[(int) (val % modSq.length)]) {
        return false;
   }

   final long root = (long) Math.sqrt(val);
   return root * root == val;
}

伪代码的最后一位可用于扩展测试以消除更多值。上述测试针对k=0、1、2、3

a的形式为(3<<2k)-1b的形式为(2<<2k)c的形式为(2<<2k+2)-1d的形式为(2<<2k-1)*10

它首先测试它是否具有幂模为2的平方残差,然后根据最终模量进行测试,然后使用Math.sqrt进行最终测试。我从最上面的帖子中提出了这个想法,并试图扩展它。我感谢任何评论或建议。

更新:使用模数(modSq)和44352的模数基数的测试,我的测试在OP更新中的96%的时间内运行,最多可达1000000000。

如果你想要速度,考虑到整数的大小是有限的,我想最快的方法是(a)按大小划分参数(例如,按最大位集划分类别),然后对照该范围内的完美平方数组检查值。

为了记录在案,另一种方法是使用素分解。如果分解的每个因子都是偶数,那么这个数就是一个完美的平方。所以你想要的是看看一个数是否可以分解成质数平方的乘积。当然,你不需要获得这样的分解,只是为了看看它是否存在。

首先建立一个小于2^32的素数平方表。这远远小于一个包含所有整数的表,直到这个极限。

解决方案如下:

boolean isPerfectSquare(long number)
{
    if (number < 0) return false;
    if (number < 2) return true;

    for (int i = 0; ; i++)
    {
        long square = squareTable[i];
        if (square > number) return false;
        while (number % square == 0)
        {
            number /= square;
        }
        if (number == 1) return true;
    }
}

我想这有点神秘。它所做的是在每一步中检查质数的平方除以输入数。如果这样做了,那么它将尽可能地将数字除以平方,以从素数分解中删除这个平方。如果通过这个过程,我们得到1,那么输入数是素数平方的分解。如果平方比数字本身大,那么这个平方或任何更大的平方都无法分割它,所以数字不能是素数平方的分解。

考虑到现在的sqrt是在硬件中完成的,并且需要在这里计算素数,我想这个解决方案要慢得多。但正如mrzl在他的回答中所说,它应该比sqrt的解决方案给出更好的结果,sqrt的工作时间不会超过2^54。