我正在寻找确定长值是否为完美平方(即其平方根是另一个整数)的最快方法:

我使用内置的Math.sqrt()以简单的方式完成了这项工作函数,但我想知道是否有一种方法可以通过将自己限制为仅限整数的域。维护查找表是不切实际的(因为平方小于263的231.5个整数)。

下面是我现在做的非常简单明了的方法:

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
  if (n < 0)
    return false;

  long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
  return tst*tst == n;
}

注意:我在许多Project Euler问题中都使用了这个函数。因此,其他人将永远不必维护此代码。而这种微优化实际上可能会有所不同,因为挑战的一部分是在不到一分钟的时间内完成每一个算法,而在某些问题中,这个函数需要调用数百万次。


我尝试了不同的解决方案:

经过详尽的测试,我发现不需要在Math.sqrt()的结果上加0.5,至少在我的机器上是这样。快速平方根逆运算速度更快,但对于n>=410881,它给出了错误的结果。然而,正如BobbyShaftoe所建议的,我们可以在n<410881时使用FISR黑客。牛顿的方法比Math.sqrt()慢得多。这可能是因为Math.sqr()使用了类似于牛顿方法的东西,但在硬件中实现,所以比Java快得多。此外,牛顿法仍然需要使用双精度。一个经过修改的牛顿方法使用了一些技巧,因此只涉及整数数学,需要一些技巧来避免溢出(我希望这个函数可以处理所有64位有符号的正整数),而且它仍然比math.sqrt()慢。二元斩更慢。这是有意义的,因为二进制斩波平均需要16次才能找到64位数字的平方根。根据John的测试,在C++中使用or语句比使用switch更快,但在Java和C#中,or和switch之间似乎没有区别。我还尝试创建一个查找表(作为64个布尔值的私有静态数组)。然后,我只说if(lookup[(int)(n&0x3F)]){test}else return false;,而不是switch或or语句;。令我惊讶的是,这(只是稍微)慢了一些。这是因为在Java中检查数组边界。


当前回答

如果速度是一个问题,为什么不将最常用的一组输入及其值划分到一个查找表中,然后执行您针对特殊情况提出的任何优化魔术算法?

其他回答

如果最后的X位数字是N,那么应该可以更有效地包装“不能是完美的正方形”!我将使用java 32位int,并生成足够的数据来检查数字的最后16位,即2048个十六进制int值。

...

好吧。要么我遇到了一些超出我理解范围的数论,要么我的代码中有一个错误。无论如何,以下是代码:

public static void main(String[] args) {
    final int BITS = 16;

    BitSet foo = new BitSet();

    for(int i = 0; i< (1<<BITS); i++) {
        int sq = (i*i);
        sq = sq & ((1<<BITS)-1);
        foo.set(sq);
    }

    System.out.println("int[] mayBeASquare = {");

    for(int i = 0; i< 1<<(BITS-5); i++) {
        int kk = 0;
        for(int j = 0; j<32; j++) {
            if(foo.get((i << 5) | j)) {
                kk |= 1<<j;
            }
        }
        System.out.print("0x" + Integer.toHexString(kk) + ", ");
        if(i%8 == 7) System.out.println();
    }
    System.out.println("};");
}

结果如下:

(ed:由于pretify.js性能不佳而取消;查看修订历史以查看。)

有人指出,完美正方形的最后d位只能取某些值。数字n的最后d位(以b为基数)与n除以bd时的余数相同,即C符号n%pow(b,d)。

这可以推广到任何模数m,即n%m可以用来排除某些百分比的数字是完全平方。您当前使用的模数是64,这允许12,即19%的余数作为可能的平方。通过一点编码,我找到了模数110880,它只允许2016,即1.8%的余数作为可能的平方。因此,根据模数运算(即除法)和查找表与机器上的平方根的成本,使用这个模数可能会更快。

顺便说一句,如果Java有办法为查找表存储一个压缩的位数组,那么不要使用它。现在110880个32位字的RAM不多,提取一个机器字将比提取一个位更快。

如果速度是一个问题,为什么不将最常用的一组输入及其值划分到一个查找表中,然后执行您针对特殊情况提出的任何优化魔术算法?

关于卡马克方法,似乎只需要重复一次就很容易了,这应该会使精度位数翻倍。毕竟,这是一种极其简化的迭代方法——牛顿迭代法,具有很好的第一个猜测。

关于您当前的最佳状态,我看到了两个微观优化:

使用mod255在检查后移动检查而不是0重新排列4的除法幂,以跳过通常(75%)情况下的所有检查。

I.e:

// Divide out powers of 4 using binary search

if((n & 0x3L) == 0) {
  n >>=2;

  if((n & 0xffffffffL) == 0)
    n >>= 32;
  if((n & 0xffffL) == 0)
      n >>= 16;
  if((n & 0xffL) == 0)
      n >>= 8;
  if((n & 0xfL) == 0)
      n >>= 4;
  if((n & 0x3L) == 0)
      n >>= 2;
}

更好的方法可能是

while ((n & 0x03L) == 0) n >>= 2;

显然,了解每个检查点有多少数字被剔除是很有意思的——我更怀疑这些检查是否真正独立,这使得事情变得棘手。

整数问题需要整数解。因此

对(非负)整数进行二进制搜索,以找到最大的整数t,使t**2<=n。然后测试r**2=n是否精确。这需要时间O(log n)。

如果你不知道如何对正整数进行二进制搜索,因为集合是无界的,这很容易。首先计算二次幂的递增函数f(高于f(t)=t**2-n)。当你看到它变为正值时,你已经找到了一个上限。然后可以进行标准的二进制搜索。