我正在学习大O符号的运行时间和摊销时间。我理解O（n）线性时间的概念，这意味着输入的大小成比例地影响算法的增长。。。例如，二次时间O（n2）等也是如此。甚至是通过阶乘增长的算法，如置换生成器，其O（n！）次。
例如，以下函数为O（n），因为算法与其输入n成比例增长：
f(int n) {
int i;
for (i = 0; i < n; ++i)
printf("%d", i);
}
类似地，如果存在嵌套循环，时间将为O（n2）。
但O（log n）到底是什么？例如，说一个完整的二叉树的高度是O（log n）是什么意思？
我确实知道（也许不是很详细）对数是什么，从这个意义上说：log10 100=2，但我不知道如何识别具有对数时间的函数。
当前回答
概述
其他人已经给出了很好的图表示例，例如树形图。我没有看到任何简单的代码示例。因此，除了我的解释，我还将提供一些带有简单打印语句的算法，以说明不同算法类别的复杂性。
首先，你需要对对数有一个大致的了解，你可以从https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm . 自然科学使用e和自然日志。工程弟子将使用log_10（对数基数10），计算机科学家将大量使用log_2（对数基数2），因为计算机是基于二进制的。有时你会看到自然log的缩写为ln（），工程师通常不使用_10，只使用log（），log_2缩写为lg（）。所有类型的对数都以类似的方式增长，这就是为什么它们共享相同的log（n）类别。
当您查看下面的代码示例时，我建议您先查看O（1），然后查看O（n），然后再查看O（n^2）。在你擅长这些之后，再看看其他的。我已经包含了干净的示例和变体，以证明细微的变化仍然可以导致相同的分类。
你可以把O（1）、O（n）、O（logn）等看作是增长的类或类别。有些类别要比其他类别花费更多的时间。这些类别有助于我们对算法性能进行排序。有些随着输入n的增长而增长得更快。下表以数字形式显示了上述增长。在下表中，将log（n）视为log_2的上限。
各种大O类别的简单代码示例：
O（1）-恒定时间示例：
算法1：
算法1打印一次hello，它不依赖于n，所以它总是在恒定的时间内运行，所以它是O（1）。
print "hello";
算法2：
算法2打印hello 3次，但它不取决于输入大小。即使随着n的增长，该算法也将始终只打印hello 3次。也就是说，3是一个常数，所以这个算法也是O（1）。
print "hello";
print "hello";
print "hello";
O（log（n））-对数示例：
算法3-其行为类似于“log_2”
算法3演示了在log_2（n）中运行的算法。注意for循环的后操作将i的当前值乘以2，因此i从1到2到4到8到16到32。。。
for(int i = 1; i <= n; i = i * 2)
print "hello";
算法4-其行为类似于“log_3”
算法4证明了log_3。注意我从1到3到9到27。。。
for(int i = 1; i <= n; i = i * 3)
print "hello";
算法5-其行为类似于“log_1.02”
算法5很重要，因为它有助于表明，只要数字大于1，并且结果与自身重复相乘，那么你就在看对数算法。
for(double i = 1; i < n; i = i * 1.02)
print "hello";
O（n）-线性时间示例：
算法6
这个算法很简单，可以打印n次hello。
for(int i = 0; i < n; i++)
print "hello";
算法7
该算法显示了一种变体，它将打印hello n/2次。n/2=1/2*n。我们忽略1/2常数，看到这个算法是O（n）。
for(int i = 0; i < n; i = i + 2)
print "hello";
O（n*log（n））-log（n）示例：
算法8
将其视为O（log（n））和O（n）的组合。for循环的嵌套帮助我们获得O（n*log（n））
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 1; j < n; j = j * 2)
print "hello";
算法9
算法9类似于算法8，但每个循环都允许变化，这仍然导致最终结果为O（n*log（n））
for(int i = 0; i < n; i = i + 2)
for(int j = 1; j < n; j = j * 3)
print "hello";
O（n^2）-n平方示例：
算法10
O（n^2）很容易通过循环的嵌套标准获得。
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
print "hello";
算法11
类似于算法10，但有一些变化。
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j = j + 2)
print "hello";
O（n^3）-n立方示例：
算法12
这类似于算法10，但有3个循环而不是2个。
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
for(int k = 0; k < n; k++)
print "hello";
算法13
类似于算法12，但具有一些仍然产生O（n^3）的变化。
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n + 5; j = j + 2)
for(int k = 0; k < n; k = k + 3)
print "hello";
总结
上面给出了几个直接的例子和变化，以帮助说明可以引入哪些细微的变化，而这些变化实际上不会改变分析。希望它能给你足够的洞察力。
其他回答
简单地说：在算法的每一步，你都可以将工作减半。（渐近等价于第三、第四、…）
我可以举一个for循环的例子，也许一旦掌握了这个概念，在不同的上下文中理解起来会更简单。
这意味着在循环中，步长呈指数增长。例如。
for (i=1; i<=n; i=i*2) {;}
该程序的O表示法的复杂性为O（log（n））。让我们尝试手动循环（n介于512和1023之间（不包括1024）：
step: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
尽管n介于512和1023之间，但只进行了10次迭代。这是因为循环中的步骤呈指数增长，因此只需要10次迭代就可以到达终点。
x的对数（到a的底）是a^x的反函数。这就像说对数是指数的倒数。
现在试着这样看，如果指数增长非常快，那么对数增长（相反）非常慢。
O（n）和O（log（n））之间的差异是巨大的，类似于O（n（n）与O（a^n）之间的区别（a是常数）。
但O（log n）到底是什么？例如，如果一个>完整二叉树的高度是O（logn），这意味着什么？
我会将其重新表述为“完整二叉树的高度是logn”。如果一步一步向下遍历，计算完整的二叉树的高度将是O（logn）。
我无法理解如何用对数来识别函数时间
对数本质上是幂的倒数。因此，如果函数的每个“步骤”都在从原始项集中删除一个元素因子，那就是对数时间算法。
对于树的示例，您可以很容易地看到，当您继续遍历时，逐步降低节点级别会减少指数级的元素数量。浏览按姓名排序的电话簿的流行示例基本上等同于遍历二进制搜索树（中间页面是根元素，您可以在每个步骤中推断是向左还是向右）。
分治算法通常具有运行时间的logn成分。这来自于输入的重复减半。
在二进制搜索的情况下，每次迭代都会丢弃一半的输入。需要注意的是，在Big-O表示法中，log是以2为底的log。
编辑：如上所述，对数基数并不重要，但当推导算法的Big-O性能时，对数因子将来自减半，因此我认为它是基数2。
实际上，如果您有一个n个元素的列表，并从该列表中创建一个二叉树（就像在除法和征服算法中一样），您将一直除以2，直到达到大小为1的列表（树叶）。
在第一步，你除以2。然后，您有2个列表（2^1），将每个列表除以2，因此您有4个列表（2*2），然后再进行一次除法，您有8个列表（3^3），依此类推，直到列表大小为1
这给出了一个等式：
n/（2^步）=1<=>n=2^步<=>lg（n）=步
（取每边的lg，lg为对数基数2）
