我想我应该用这个问题的答案，但我不能，所以这是我的答案。它使用的是《计算机程序的结构和解释》中答案的修改版本。我认为这是一个更好的递归解，应该更能取悦纯粹主义者。

我的答案是用Scala(如果我的Scala很烂，我很抱歉，我刚刚开始学习)。findsumcombination的疯狂之处在于对递归的原始列表进行排序和惟一，以防止欺骗。

def findSumCombinations(target: Int, numbers: List[Int]): Int = {
  cc(target, numbers.distinct.sortWith(_ < _), List())
}

def cc(target: Int, numbers: List[Int], solution: List[Int]): Int = {
  if (target == 0) {println(solution); 1 }
  else if (target < 0 || numbers.length == 0) 0
  else 
    cc(target, numbers.tail, solution) 
    + cc(target - numbers.head, numbers, numbers.head :: solution)
}

使用它:

 > findSumCombinations(12345, List(1,5,22,15,0,..))
 * Prints a whole heap of lists that will sum to the target *

Javascript版本:

function subsetSum(numbers, target, partial) { var s, n, remaining; partial = partial || []; // sum partial s = partial.reduce(function (a, b) { return a + b; }, 0); // check if the partial sum is equals to target if (s === target) { console.log("%s=%s", partial.join("+"), target) } if (s >= target) { return; // if we reach the number why bother to continue } for (var i = 0; i < numbers.length; i++) { n = numbers[i]; remaining = numbers.slice(i + 1); subsetSum(remaining, target, partial.concat([n])); } } subsetSum([3,9,8,4,5,7,10],15); // output: // 3+8+4=15 // 3+5+7=15 // 8+7=15 // 5+10=15

这也可以用来打印所有的答案

public void recur(int[] a, int n, int sum, int[] ans, int ind) {
    if (n < 0 && sum != 0)
        return;
    if (n < 0 && sum == 0) {
        print(ans, ind);
        return;
    }
    if (sum >= a[n]) {
        ans[ind] = a[n];
        recur(a, n - 1, sum - a[n], ans, ind + 1);
    }
    recur(a, n - 1, sum, ans, ind);
}

public void print(int[] a, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        System.out.print(a[i] + " ");
    System.out.println();
}

时间复杂度是指数级的。2^n的阶

Thank you.. ephemient

我已经将上述逻辑从python转换为php..

<?php
$data = array(array(2,3,5,10,15),array(4,6,23,15,12),array(23,34,12,1,5));
$maxsum = 25;

print_r(bestsum($data,$maxsum));  //function call

function bestsum($data,$maxsum)
{
$res = array_fill(0, $maxsum + 1, '0');
$res[0] = array();              //base case
foreach($data as $group)
{
 $new_res = $res;               //copy res

  foreach($group as $ele)
  {
    for($i=0;$i<($maxsum-$ele+1);$i++)
    {   
        if($res[$i] != 0)
        {
            $ele_index = $i+$ele;
            $new_res[$ele_index] = $res[$i];
            $new_res[$ele_index][] = $ele;
        }
    }
  }

  $res = $new_res;
}

 for($i=$maxsum;$i>0;$i--)
  {
    if($res[$i]!=0)
    {
        return $res[$i];
        break;
    }
  }
return array();
}
?>

到目前为止，有很多解决方案，但都是生成然后过滤的形式。这意味着他们可能会在递归路径上花费大量时间，而这些递归路径不会导致解决方案。

这里的解决方案是O(size_of_array * (number_of_sum + number_of_solutions))。换句话说，它使用动态规划来避免列举永远不会匹配的可能解决方案。

为了搞笑，我让这个函数同时使用正数和负数，并让它成为一个迭代器。它适用于Python 2.3+。

def subset_sum_iter(array, target):
    sign = 1
    array = sorted(array)
    if target < 0:
        array = reversed(array)
        sign = -1
    # Checkpoint A

    last_index = {0: [-1]}
    for i in range(len(array)):
        for s in list(last_index.keys()):
            new_s = s + array[i]
            if 0 < (new_s - target) * sign:
                pass # Cannot lead to target
            elif new_s in last_index:
                last_index[new_s].append(i)
            else:
                last_index[new_s] = [i]
    # Checkpoint B

    # Now yield up the answers.
    def recur(new_target, max_i):
        for i in last_index[new_target]:
            if i == -1:
                yield [] # Empty sum.
            elif max_i <= i:
                break # Not our solution.
            else:
                for answer in recur(new_target - array[i], i):
                    answer.append(array[i])
                    yield answer

    for answer in recur(target, len(array)):
        yield answer

这里有一个例子，它与数组和目标一起使用，在其他解决方案中使用的过滤方法实际上永远不会结束。

def is_prime(n):
    for i in range(2, n):
        if 0 == n % i:
            return False
        elif n < i * i:
            return True
    if n == 2:
        return True
    else:
        return False


def primes(limit):
    n = 2
    while True:
        if is_prime(n):
            yield(n)
        n = n + 1
        if limit < n:
            break


for answer in subset_sum_iter(primes(1000), 76000):
    print(answer)

这将在2秒内打印所有522个答案。之前的方法如果能在宇宙当前的生命周期内找到答案，那就太幸运了。(整个空间有2^168 = 3.74144419156711e+50个可能的组合。那需要一段时间。)

解释 我被要求解释代码，但解释数据结构通常更能说明问题。我来解释一下数据结构。

让我们考虑subset_sum_iter([2, 2、3、3、5、5、7、7、-11、11),10)。

在检查点A，我们已经意识到我们的目标是正的，所以符号= 1。我们已经对输入进行了排序，使array =[-11， -7， -5， -3， -2, 2,3,5,7,11]。由于我们经常通过索引访问它，下面是从索引到值的映射:

0: -11
1:  -7
2:  -5
3:  -3
4:  -2
5:   2
6:   3
7:   5
8:   7
9:  11

通过检查点B，我们使用动态规划生成last_index数据结构。它包含什么?

last_index = {    
    -28: [4],
    -26: [3, 5],
    -25: [4, 6],
    -24: [5],
    -23: [2, 4, 5, 6, 7],
    -22: [6],
    -21: [3, 4, 5, 6, 7, 8],
    -20: [4, 6, 7],
    -19: [3, 5, 7, 8],
    -18: [1, 4, 5, 6, 7, 8],
    -17: [4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -16: [2, 4, 5, 6, 7, 8],
    -15: [3, 5, 6, 7, 8, 9],
    -14: [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -13: [4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -12: [2, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -11: [0, 5, 6, 7, 8, 9],
    -10: [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -9: [4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -8: [3, 5, 6, 7, 8, 9],
    -7: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -6: [5, 6, 7, 8, 9],
    -5: [2, 4, 5, 6, 7, 8, 9],
    -4: [6, 7, 8, 9],
    -3: [3, 5, 6, 7, 8, 9],
    -2: [4, 6, 7, 8, 9],
    -1: [5, 7, 8, 9],
    0: [-1, 5, 6, 7, 8, 9],
    1: [6, 7, 8, 9],
    2: [5, 6, 7, 8, 9],
    3: [6, 7, 8, 9],
    4: [7, 8, 9],
    5: [6, 7, 8, 9],
    6: [7, 8, 9],
    7: [7, 8, 9],
    8: [7, 8, 9],
    9: [8, 9],
    10: [7, 8, 9]
}

(旁注，它不是对称的，因为条件if 0 < (new_s - target) *符号阻止我们记录超过target的任何内容，在我们的例子中是10。)

这是什么意思?以条目10为例:[7,8,9]。这意味着我们可以得到10的最终和，最后选择的数字在索引7、8或9处。也就是说，最后选择的数字可以是5,7或11。

让我们仔细看看如果我们选择索引7会发生什么。这意味着我们以5结束。因此，在得到下标7之前，我们必须得到10-5 = 5。5的条目为5:[6,7,8,9]。所以我们可以选择指数6，也就是3。虽然我们在第7、8和9处得到了5，但在第7号下标之前我们没有得到5。所以倒数第二个选项是指数6处的3。

现在我们要在下标6之前得到5-3 = 2。条目2是:2:[5,6,7,8,9]。同样，我们只关心下标5的答案因为其他的都发生得太晚了。所以倒数第三个选项是指数5处的2。

最后我们要在下标5之前得到2-2 = 0。条目0表示:0:[- 1,5,6,7,8,9]。同样，我们只关心-1。但是-1不是下标实际上我用它来表示我们已经完成了选择。

我们求出了2+3+5 = 10的解。这是我们打印出来的第一个解。

现在我们来看递归子函数。因为它是在main函数内部定义的，所以它可以看到last_index。

首先要注意的是，它调用的是yield，而不是return。这使它成为一个发电机。当你调用它时，你会返回一个特殊类型的迭代器。当你循环遍历那个迭代器时，你会得到一个它能产生的所有东西的列表。但你是在生成它们时得到它们的。如果它是一个很长的列表，你不把它放在内存中。(有点重要，因为我们可以得到一个很长的列表。)

recur(new_target, max_i)将产生的结果是你可以用数组中最大索引为max_i的元素求和为new_target的所有方法。这就是它的答案:“我们必须在索引max_i+1之前到达new_target。”当然，它是递归的。

因此，recur(target, len(array))是所有使用任意索引到达目标的解。这就是我们想要的。

下面是一个Java版本，它非常适合小N和非常大的目标和，当复杂度O(t*N)(动态解)大于指数算法时。我的版本在中间攻击中使用了一个meet，并进行了一些调整，以降低复杂度，从经典的naive O(n*2^n)降低到O(2^(n/2))。

如果你想在32到64个元素之间的集合中使用这种方法，你应该将表示step函数中当前子集的int改为long，尽管随着集合大小的增加，性能显然会急剧下降。如果你想对一个有奇数个元素的集合使用这个，你应该给这个集合加上一个0，使它成为偶数。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class SubsetSumMiddleAttack {
    static final int target = 100000000;
    static final int[] set = new int[]{ ... };

    static List<Subset> evens = new ArrayList<>();
    static List<Subset> odds = new ArrayList<>();

    static int[][] split(int[] superSet) {
        int[][] ret = new int[2][superSet.length / 2]; 

        for (int i = 0; i < superSet.length; i++) ret[i % 2][i / 2] = superSet[i];

        return ret;
    }

    static void step(int[] superSet, List<Subset> accumulator, int subset, int sum, int counter) {
        accumulator.add(new Subset(subset, sum));
        if (counter != superSet.length) {
            step(superSet, accumulator, subset + (1 << counter), sum + superSet[counter], counter + 1);
            step(superSet, accumulator, subset, sum, counter + 1);
        }
    }

    static void printSubset(Subset e, Subset o) {
        String ret = "";
        for (int i = 0; i < 32; i++) {
            if (i % 2 == 0) {
                if ((1 & (e.subset >> (i / 2))) == 1) ret += " + " + set[i];
            }
            else {
                if ((1 & (o.subset >> (i / 2))) == 1) ret += " + " + set[i];
            }
        }
        if (ret.startsWith(" ")) ret = ret.substring(3) + " = " + (e.sum + o.sum);
        System.out.println(ret);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] superSets = split(set);

        step(superSets[0], evens, 0,0,0);
        step(superSets[1], odds, 0,0,0);

        for (Subset e : evens) {
            for (Subset o : odds) {
                if (e.sum + o.sum == target) printSubset(e, o);
            }
        }
    }
}

class Subset {
    int subset;
    int sum;

    Subset(int subset, int sum) {
        this.subset = subset;
        this.sum = sum;
    }
}