确定整数的平方根是否为整数的最快方法

我正在寻找确定长值是否为完美平方（即其平方根是另一个整数）的最快方法：

我使用内置的Math.sqrt（）以简单的方式完成了这项工作函数，但我想知道是否有一种方法可以通过将自己限制为仅限整数的域。维护查找表是不切实际的（因为平方小于263的231.5个整数）。

下面是我现在做的非常简单明了的方法：

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
  if (n < 0)
    return false;

  long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
  return tst*tst == n;
}

注意：我在许多Project Euler问题中都使用了这个函数。因此，其他人将永远不必维护此代码。而这种微优化实际上可能会有所不同，因为挑战的一部分是在不到一分钟的时间内完成每一个算法，而在某些问题中，这个函数需要调用数百万次。

我尝试了不同的解决方案：

经过详尽的测试，我发现不需要在Math.sqrt（）的结果上加0.5，至少在我的机器上是这样。快速平方根逆运算速度更快，但对于n>=410881，它给出了错误的结果。然而，正如BobbyShaftoe所建议的，我们可以在n<410881时使用FISR黑客。牛顿的方法比Math.sqrt（）慢得多。这可能是因为Math.sqr（）使用了类似于牛顿方法的东西，但在硬件中实现，所以比Java快得多。此外，牛顿法仍然需要使用双精度。一个经过修改的牛顿方法使用了一些技巧，因此只涉及整数数学，需要一些技巧来避免溢出（我希望这个函数可以处理所有64位有符号的正整数），而且它仍然比math.sqrt（）慢。二元斩更慢。这是有意义的，因为二进制斩波平均需要16次才能找到64位数字的平方根。根据John的测试，在C++中使用or语句比使用switch更快，但在Java和C#中，or和switch之间似乎没有区别。我还尝试创建一个查找表（作为64个布尔值的私有静态数组）。然后，我只说if（lookup[（int）（n&0x3F）]）｛test｝else return false；，而不是switch或or语句；。令我惊讶的是，这（只是稍微）慢了一些。这是因为在Java中检查数组边界。

当前回答

你应该从一开始就去掉N的2次方部分。

第二次编辑下面m的神奇表达式应该是

m = N - (N & (N-1));

而不是书面的

第二次编辑结束

m = N & (N-1); // the lawest bit of N
N /= m;
byte = N & 0x0F;
if ((m % 2) || (byte !=1 && byte !=9))
  return false;

第一次编辑：

轻微改进：

m = N & (N-1); // the lawest bit of N
N /= m;
if ((m % 2) || (N & 0x07 != 1))
  return false;

第一次编辑结束

现在像往常一样继续。这样，当你到达浮点部分时，你已经去掉了所有2次方部分为奇数（大约一半）的数字，然后你只考虑剩下的1/8。也就是说，你在6%的数字上运行浮点部分。

2009-01-01 22:12:38

其他回答

如果你做了一个二进制斩试图找到“正确”的平方根，你可以很容易地检测到你得到的值是否足够接近：

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1

因此，在计算了n^2之后，选项如下：

n ^2=目标：已完成，返回truen^2+2n+1>target>n^2:你很接近，但并不完美：return falsen^2-2n+1<目标<n^2：同上目标<n^2-2n+1：低位n上的二进制斩波目标>n^2+2n+1：较高n上的二进制斩波

（抱歉，这使用n作为您当前的猜测，并将其作为参数的目标。对此感到困惑深表歉意！）

我不知道这是否会更快，但值得一试。

编辑：二进制斩不必接受整个整数范围，或者（2^x）^2=2^（2x），所以一旦你在目标中找到了最高位（这可以用一个小技巧来完成；我完全忘记了怎么做），你就可以快速得到一系列可能的答案。请注意，一个简单的二进制斩仍然只需要31或32次迭代。

2008-11-17 13:50:48

不确定这是否是最快的方法，但这是我（很久以前在高中）在数学课上无聊地玩计算器时偶然发现的。当时，我真的很惊讶这是有效的。。。

public static boolean isIntRoot(int number) {
    return isIntRootHelper(number, 1);
}

private static boolean isIntRootHelper(int number, int index) {
    if (number == index) {
        return true;
    }
    if (number < index) {
        return false;
    }
    else {
        return isIntRootHelper(number - 2 * index, index + 1);
    }
}

2018-09-26 16:32:44

可能是该问题的最佳算法是快速整数平方根算法https://stackoverflow.com/a/51585204/5191852

@Kde声称牛顿法的三次迭代对于32位整数的精度为±1就足够了。当然，64位整数需要更多的迭代，可能是6或7。

2019-01-19 13:44:25

整数问题需要整数解。因此

对（非负）整数进行二进制搜索，以找到最大的整数t，使t**2<=n。然后测试r**2=n是否精确。这需要时间O（log n）。

如果你不知道如何对正整数进行二进制搜索，因为集合是无界的，这很容易。首先计算二次幂的递增函数f（高于f（t）=t**2-n）。当你看到它变为正值时，你已经找到了一个上限。然后可以进行标准的二进制搜索。

2013-10-15 15:48:34