简短回答

使用Heapify（）构建二进制堆需要O（n）时间。

当我们一个接一个地将元素添加到堆中，并在每一步都满足堆属性（最大堆或最小堆）时，总时间复杂度将为O（nlogn）。因为二进制堆的一般结构是一个完整的二进制树。因此，堆的高度为h=O（logn）。因此，元素在堆中的插入时间等于树的高度，即O（h）=O（logn）。对于n个元素，这将花费O（nlogn）时间。

现在考虑另一种方法。为了简单起见，我假设我们有一个最小堆。因此，每个节点都应该小于其子节点。

在完整的二叉树的骨架中添加所有元素。这需要O（n）时间。现在我们只需要满足min堆属性。由于所有叶元素都没有子元素，因此它们已经满足堆属性。叶元素的总数是ceil（n/2），其中n是树中存在的元素的总数。现在，对于每个内部节点，如果它大于其子节点，则以从下到上的方式将其与最小子节点交换。每个内部节点将花费O（1）时间。注意：我们不会像插入时那样将值交换到根。我们只需交换一次，使该节点上的子树成为一个合适的最小堆。在二进制堆的基于数组的实现中，我们有父级（i）＝ceil（（i-1）/2），i的子级由2*i+1和2*i+2给出。因此，通过观察，我们可以说数组中的最后一个ceil（n/2）元素将是叶节点。深度越大，节点的索引就越多。我们将对阵列[n/2]、阵列[n/2-1]重复步骤4。。。。。数组[0]。通过这种方式，我们确保我们以自下而上的方式完成这项工作。总的来说，我们最终将维护min堆属性。所有n/2元素的步骤4将花费O（n）时间。

因此，使用这种方法进行堆化的总时间复杂度将为O（n）+O（n）~O（n（n）。

@bcorso已经证明了复杂性分析的证据。但为了那些还在学习复杂性分析的人，我想补充一下：

您最初错误的基础是对语句含义的误解，“插入堆需要O（logn）时间”。插入到堆中确实是O（logn），但您必须认识到n是插入过程中堆的大小。

在向堆中插入n个对象的情况下，第i次插入的复杂性为O（logn_i），其中n_i是插入i时堆的大小。只有最后一次插入的复杂度为O（log n）。

如果通过重复插入元素来构建堆，那么它将是O（n log n）。然而，通过以任意顺序插入元素，然后应用算法将它们“堆”成正确的顺序（当然取决于堆的类型），可以更有效地创建新的堆。

看见http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_heap，例如“构建堆”。在这种情况下，您基本上从树的底层开始工作，交换父节点和子节点，直到满足堆条件。

基本上，在构建堆时，只在非叶节点上完成工作。。。所做的工作是减少交换量以满足堆条件。。。换句话说（在最坏的情况下），数量与节点的高度成比例。。。总之，问题的复杂性与所有非叶节点的高度之和成正比。。即（2^h+1-1）-h-1=n--1=O（n）

直观地：

“复杂性应该是O（nLog n）……对于我们“heapify”的每个项目，它有可能必须为堆的每个级别（即log n级别）过滤一次。”

不完全是。您的逻辑不会产生严格的界限——它会过度估计每个堆的复杂性。如果从下往上构建，插入（heapify）可以比O（log（n））小得多。流程如下：

（步骤1）前n/2个元素位于堆的底行。h=0，因此不需要heapify。

（步骤2）接下来的n/22个元素从底部向上排列在第1行。h=1，将过滤器向下堆1级。

（步骤i）接下来的n/2i元素从底部排i。h=i，将过滤器堆成i级。

（步骤log（n））最后一个n/2log2（n）=1元素从底部向上进入行log（n。h=log（n），heapify向下过滤log（n）级别。

注意：在第一步之后，1/2的元素（n/2）已经在堆中，我们甚至不需要调用heapify一次。此外，请注意，实际上只有一个元素，即根元素，会导致完整的log（n）复杂性。

理论上：

构建大小为N的堆的总步骤N可以用数学公式表示。

在高度i处，我们已经显示（上面）将有n/2i+1个元素需要调用heapify，并且我们知道高度i处的heapify是O（i）。这给出了：

最后求和的解可以通过取众所周知的几何级数方程两边的导数来找到：

最后，将x=1/2代入上式得到2。将其代入第一个方程得出：

因此，步骤总数大小为O（n）

我们可以使用另一个最佳解决方案来构建堆，而不是重复插入每个元素。具体如下：

任意将n个元素放入数组中以尊重堆的形状属性。从最底层开始，向上移动，筛选在heapify down过程中，每个子树向下移动，直到堆属性已还原。

此过程可通过下图进行说明：

接下来，让我们分析一下上述过程的时间复杂性。假设堆中有n个元素，堆的高度为h（对于上图中的堆，高度为3）。那么我们应该有以下关系：

当最后一级只有一个节点时，n=2^h。当树的最后一级被完全填充时，则n＝2^（h+1）。

并且从底部开始作为级别0（根节点是级别h），在级别j中，最多有2^（h-j）个节点。每个节点最多执行j次交换操作。所以在第j级中，操作的总数是j*2^（h-j）。

因此，构建堆的总运行时间与：

如果我们将2^h项考虑在内，那么我们得到：

​正如我们所知，∑j/2是一个收敛到2的级数（详细地说，你可以参考这个wiki）。

使用此功能，我们可以：

根据条件2^h<=n，我们得到：

现在我们证明构建堆是一个线性操作。