我从http://www.mail-archive.com/boston-pm@mail.pm.org/msg02716.html中引用了这个，这是我几年前写的一个解释。

在本例中我将使用JavaScript，但许多其他语言也可以。

我们的目标是写出一个1的递归函数 变量只使用1变量的函数，没有 赋值，通过名称定义事物等(为什么这是我们的 目标是另一个问题，我们把它作为 我们所面临的挑战。)似乎不可能，是吧?作为 举个例子，让我们实现阶乘。

第一步是说我们可以很容易地做到这一点，如果我们 作弊了一点。使用二元函数和 我们至少可以避免使用 赋值来建立递归。

// Here's the function that we want to recurse.
X = function (recurse, n) {
  if (0 == n)
    return 1;
  else
    return n * recurse(recurse, n - 1);
};

// This will get X to recurse.
Y = function (builder, n) {
  return builder(builder, n);
};

// Here it is in action.
Y(
  X,
  5
);

现在我们看看能不能少作弊。首先我们用 任务，但我们不需要。我们可以写成X和 Y内联。

// No assignment this time.
function (builder, n) {
  return builder(builder, n);
}(
  function (recurse, n) {
    if (0 == n)
      return 1;
    else
      return n * recurse(recurse, n - 1);
  },
  5
);

但是我们用两个变量的函数来得到一个1的函数 变量。我们能解决这个问题吗?一个叫 Haskell Curry有一个巧妙的技巧，如果你有好的高阶 那么你只需要一个变量的函数。的 证明是你可以从函数2(或更多) 一般情况下)变量以1变量为纯粹 像这样的机械文本转换:

// Original
F = function (i, j) {
  ...
};
F(i,j);

// Transformed
F = function (i) { return function (j) {
  ...
}};
F(i)(j);

在那里……完全一样。(这个技巧叫做 “模仿”它的发明者。Haskell也是一种语言 以哈斯克尔·库里命名。把它归为无用的琐事。) 现在只要把这个变换应用到任何地方，我们就得到 我们的最终版本。

// The dreaded Y-combinator in action!
function (builder) { return function (n) {
  return builder(builder)(n);
}}(
  function (recurse) { return function (n) {
    if (0 == n)
      return 1;
    else
      return n * recurse(recurse)(n - 1);
  }})(
  5
);

尽管试一试。Alert()返回，将其绑定到一个按钮，等等。 该代码不使用，递归地计算阶乘 2变量的赋值、声明或函数。(但 试图追踪它是如何工作的可能会让你头晕目眩。 递过来，没有推导，只是稍微重新格式化了一下 会导致代码令人困惑。)

可以将递归定义阶乘的4行替换为 任何你想要的递归函数。

下面是Y-Combinator和Factorial函数的JavaScript实现(来自Douglas Crockford的文章，可在http://javascript.crockford.com/little.html上找到)。

function Y(le) {
    return (function (f) {
        return f(f);
    }(function (f) {
        return le(function (x) {
            return f(f)(x);
        });
    }));
}

var factorial = Y(function (fac) {
    return function (n) {
        return n <= 2 ? n : n * fac(n - 1);
    };
});

var number120 = factorial(5);

如果你准备好长篇大论，Mike Vanier有一个很好的解释。长话短说，它允许您在一种不一定支持递归的语言中实现递归。

Y-combinator是一个“函数”(一个作用于其他函数的函数)，当你不能从内部引用函数时，它可以实现递归。在计算机科学理论中，它概括了递归，抽象了递归的实现，从而将递归与函数的实际工作分离开来。递归函数不需要编译时名称的好处是一种额外的好处。=）

这适用于支持lambda函数的语言。lambdas基于表达式的特性通常意味着它们不能通过名称引用自己。通过声明变量，引用它，然后赋值给它，来完成自引用循环，是很脆弱的。可以复制lambda变量，并重新分配原始变量，这将破坏自引用。

y组合子在静态类型语言(过程性语言通常如此)中实现起来很麻烦，而且经常使用起来也很麻烦，因为通常类型限制要求在编译时知道函数的参数数量。这意味着必须为需要使用的任何参数count编写y-combinator。

下面是一个在c#中如何使用和工作的Y-Combinator的例子。

使用y组合子涉及到一种构造递归函数的“不寻常”方式。首先，你必须把你的函数写成一段代码，调用一个已经存在的函数，而不是它自己:

// Factorial, if func does the same thing as this bit of code...
x == 0 ? 1: x * func(x - 1);

然后将其转换为一个函数，该函数接受一个要调用的函数，并返回一个这样做的函数。这被称为函数，因为它接受一个函数，并对其执行一个操作，该操作产生另一个函数。

// A function that creates a factorial, but only if you pass in
// a function that does what the inner function is doing.
Func<Func<Double, Double>, Func<Double, Double>> fact =
  (recurs) =>
    (x) =>
      x == 0 ? 1 : x * recurs(x - 1);

现在你有了一个函数，它接受一个函数，并返回另一个函数，它看起来像一个阶乘，但它不是调用它自己，而是调用传递给外部函数的参数。怎么把它变成阶乘呢?将内部函数传递给自身。Y-Combinator就是这样做的，它是一个具有永久名称的函数，可以引入递归。

// One-argument Y-Combinator.
public static Func<T, TResult> Y<T, TResult>(Func<Func<T, TResult>, Func<T, TResult>> F)
{
  return
    t =>  // A function that...
      F(  // Calls the factorial creator, passing in...
        Y(F)  // The result of this same Y-combinator function call...
              // (Here is where the recursion is introduced.)
        )
      (t); // And passes the argument into the work function.
}

不是阶乘调用自身，而是阶乘调用阶乘生成器(由对Y-Combinator的递归调用返回)。根据t的当前值，从生成器返回的函数会再次调用生成器，用t - 1，或者直接返回1，终止递归。

它是复杂而神秘的，但在运行时，它的工作关键是“延迟执行”，并将递归分解为跨越两个函数。内部的F作为参数传递，仅在必要时才在下一次迭代中调用。

JavaScript中的y组合子:

var Y = function(f) {
  return (function(g) {
    return g(g);
  })(function(h) {
    return function() {
      return f(h(h)).apply(null, arguments);
    };
  });
};

var factorial = Y(function(recurse) {
  return function(x) {
    return x == 0 ? 1 : x * recurse(x-1);
  };
});

factorial(5)  // -> 120

编辑: 通过查看代码，我学到了很多东西，但是如果没有一些背景知识，这个代码有点难以理解——对此我感到抱歉。有了其他答案提供的一些常识，你就可以开始分析正在发生的事情了。

The Y function is the "y-combinator". Now take a look at the var factorial line where Y is used. Notice you pass a function to it that has a parameter (in this example, recurse) that is also used later on in the inner function. The parameter name basically becomes the name of the inner function allowing it to perform a recursive call (since it uses recurse() in it's definition.) The y-combinator performs the magic of associating the otherwise anonymous inner function with the parameter name of the function passed to Y.

关于Y如何变魔术的完整解释，请查看链接文章(顺便说一下，不是我写的)。

上面的大多数答案描述了y组合子是什么，但没有描述它的用途。

用不动点组合子来证明lambda演算是图灵完备的。这是计算理论中一个非常重要的结果，为函数式编程提供了理论基础。

学习不动点组合子也帮助我真正理解了函数式编程。但我从未发现它们在实际编程中有任何用处。