我认为回答这个问题的最好方法是选择一种语言，比如JavaScript:

function factorial(num)
{
    // If the number is less than 0, reject it.
    if (num < 0) {
        return -1;
    }
    // If the number is 0, its factorial is 1.
    else if (num == 0) {
        return 1;
    }
    // Otherwise, call this recursive procedure again.
    else {
        return (num * factorial(num - 1));
    }
}

现在重写它，使它不使用函数内部的函数名，但仍然递归地调用它。

函数名factorial唯一应该看到的地方是在调用位置。

提示:不能使用函数名，但可以使用参数名。

解决这个问题。不要去查。一旦你解决了它，你就会明白y组合子解决了什么问题。

其他答案对此提供了相当简洁的答案，但没有一个重要的事实:你不需要用任何实用语言以这种令人费解的方式实现定点组合子，这样做没有任何实际目的(除了“看，我知道y组合子是什么”)。这是一个重要的理论概念，但没有什么实际价值。

如果你准备好长篇大论，Mike Vanier有一个很好的解释。长话短说，它允许您在一种不一定支持递归的语言中实现递归。

Y-Combinator是通量电容器的另一个名称。

以下是对尼古拉斯·曼库索(Nicholas Mancuso)在回答中提到的文章(完全值得一读)中提到的原始问题的回答，以及其他答案:

什么是y组合子?

y组合子是一个“函数”(或高阶函数——一个作用于其他函数的函数)，它接受一个参数，这是一个非递归的函数，并返回该函数的一个递归版本。

有点递归=)，但更深入的定义:

一个组合子-就是一个没有自由变量的lambda表达式。 自由变量-是一个变量，不是一个约束变量。 绑定变量—包含在lambda表达式体中的变量，该变量名作为其参数之一。

另一种思考方式是，combinator是这样一个lambda表达式，在其中，你可以在任何地方用它的定义替换一个组合子的名称，并且一切都仍然有效(如果combinator在lambda体中包含对自身的引用，你将进入一个无限循环)。

y组合子是一个定点组合子。

函数的不动点是函数定义域中映射到函数自身的一个元素。 也就是说，如果f(c) = c, c是函数f(x)的一个不动点 这意味着f(f(…f(c)…))= fn(c) = c

组合符是如何工作的?

下面的例子假设强+动态类型:

惰性(正规阶)y组合子: 此定义适用于具有lazy(也称为deferred, call-by-need)求值的语言——该求值策略将表达式的求值延迟到需要它的值时。

Y = λf.(λx.f(x x)) (λx.f(x x)) = λf.(λx.(x x)) (λx.f(x x))

这意味着，对于给定的函数f(它是非递归函数)，可以通过计算λx得到对应的递归函数。F (x x)然后把这个表达式应用到自身上。

严格(应用阶)y组合子: 这个定义适用于具有严格求值策略(也包括热切求值和贪婪求值策略)的语言，在这种策略中，表达式一旦绑定到变量就会被求值。

Y = λf.(λx.f(λy.((x x) y))) (λx.f(λy.((x x) y))) = λf.(λx.(x x)) (λx.f(λy.((x x) y)))

它本质上和lazy一样，只是有一个额外的λ包装器来延迟lambda的体计算。我问了另一个问题，和这个话题有点相关。

它们有什么用?

借用Chris Ammerman的回答:Y-combinator泛化递归，抽象其实现，从而将其与函数的实际工作分离。

尽管Y-combinator有一些实际应用，但它主要是一个理论概念，理解它将扩展你的整体视野，并有可能提高你的分析和开发技能。

它们在过程语言中有用吗?

正如Mike Vanier所说:在许多静态类型的语言中都可以定义Y组合子，但是(至少在我看到的例子中)这样的定义通常需要一些不明显的类型技巧，因为Y组合子本身没有直接的静态类型。这超出了本文的范围，所以我不再进一步提及

正如Chris Ammerman所提到的:大多数过程式语言都有静态类型。

所以这个问题的答案是，不是真的。

下面是Y-Combinator和Factorial函数的JavaScript实现(来自Douglas Crockford的文章，可在http://javascript.crockford.com/little.html上找到)。

function Y(le) {
    return (function (f) {
        return f(f);
    }(function (f) {
        return le(function (x) {
            return f(f)(x);
        });
    }));
}

var factorial = Y(function (fac) {
    return function (n) {
        return n <= 2 ? n : n * fac(n - 1);
    };
});

var number120 = factorial(5);