一种直观的思考方法是如果你有一棵完全平衡的二叉搜索树，那么根就是中值元素，因为这里有相同数量的较大和较小的元素。 现在，如果树没有满，情况就不一样了，因为上一层中会有元素缺失。

所以我们可以用中值和两棵平衡二叉树，一棵表示小于中值的元素，另一棵表示大于中值的元素。这两棵树必须保持相同的大小。

当我们从数据流中获得一个新整数时，我们将其与中位数进行比较。如果它大于中值，我们就把它加到右边的树上。如果两个树的大小相差超过1，我们删除右边树的最小元素，使其成为新的中值，并将旧的中值放在左边树中。更小的也一样。

你不能只用一个堆来做这个吗?更新:没有。请看评论。

不变性:在读取2*n个输入后，最小堆保存其中最大的n个。

循环:读取2个输入。将它们都添加到堆中，并删除堆的最小值。这将重新建立不变量。

所以当读取了2n个输入时，堆的最小值是第n大的。在中间位置附近取两个元素的平均值，以及在奇数个输入之后处理查询，需要稍微复杂一点。

高效这个词取决于上下文。这个问题的解决方案取决于执行的查询量与插入量的关系。假设你插入N个数字K次直到最后你对中位数感兴趣。基于堆的算法的复杂度是O(N log N + K)。

考虑下面的替代方案。将数字放入一个数组中，对于每个查询，运行线性选择算法(比如使用快速排序枢轴)。现在你有了一个运行时间为O(K N)的算法。

现在如果K足够小(不频繁查询)，后一种算法实际上更有效，反之亦然。

如果输入的方差是统计分布的(如正态分布、对数正态分布等)，那么从任意长的数据流中估计百分位数/中位数是一种合理的方法。

int n = 0;  // Running count of elements observed so far  
#define SIZE 10000
int reservoir[SIZE];  

while(streamHasData())
{
  int x = readNumberFromStream();

  if (n < SIZE)
  {
       reservoir[n++] = x;
  }         
  else 
  {
      int p = random(++n); // Choose a random number 0 >= p < n
      if (p < SIZE)
      {
           reservoir[p] = x;
      }
  }
}

“水库”则是一个运行的，均匀的(公平的)，所有输入的样本-无论大小。然后找到中位数(或任何百分位数)是一个简单的问题，即对存储库进行排序并轮询感兴趣的点。

由于存储库的大小是固定的，因此排序可以被认为是有效的O(1) -并且该方法运行的时间和内存消耗都是常数。

我可以确认@schmil-the-cat的答案是正确的。

下面是一个JS的实现。我不是算法专家，但我认为它可能对其他人有用。

class Heap {
  constructor(isMin) {
    this.heap = [];
    this.isMin = isMin;
  }

  heapify() {
    if (this.heap.length === 1) {
      return;
    }

    let currentIndex = this.heap.length - 1; 

    while (true) {
      if (currentIndex === 0) {
        break;
      }

      const parentIndex = Math.floor((currentIndex - 1) / 2);
      const parentValue = this.heap[parentIndex];
      const currentValue = this.heap[currentIndex];

      if (
        (this.isMin && parentValue < currentValue) ||
        (!this.isMin && parentValue > currentValue)
      ) {
        break;
      }

      this.heap[parentIndex] = currentValue;
      this.heap[currentIndex] = parentValue;

      currentIndex = parentIndex;
    }
  }

  insert(val) {
    this.heap.push(val);

    this.heapify();
  }

  pop() {
    const val = this.heap.shift();
    this.heapify();
    return val;
  }

  top() {
    return this.heap[0];
  }

  length() {
    return this.heap.length;
  }
}

function findMedian(arr) {
  const topHeap = new Heap(true);
  const bottomHeap = new Heap(false);

  const output = [];

  if (arr.length === 1) {
    return arr[0];
  }

  topHeap.insert(Math.max(arr[0], arr[1]));
  bottomHeap.insert(Math.min(arr[0], arr[1]));

  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
    const currentVal = arr[i];

    if (i === 0) {
      output.push(currentVal);
      continue;
    }

    if (i > 1) {
      if (currentVal < bottomHeap.top()) {
        bottomHeap.insert(currentVal);
      } else {
        topHeap.insert(currentVal);
      }
    }

    if (bottomHeap.length() - topHeap.length() > 1) {
      const bottomVal = bottomHeap.pop();
      topHeap.insert(bottomVal);
    }

    if (topHeap.length() - bottomHeap.length() > 1) {
      const topVal = topHeap.pop();
      bottomHeap.insert(topVal);
    }

    if (bottomHeap.length() === topHeap.length()) {
      output.push(Math.floor((bottomHeap.top() + topHeap.top()) / 2));
      continue;
    }

    if (bottomHeap.length() > topHeap.length()) {
      output.push(bottomHeap.top());
    } else {
      output.push(topHeap.top());
    }
  }

  return output;
}

如果我们想要找到n个最近出现的元素的中值，这个问题有一个精确的解决方案，只需要将n个最近出现的元素保存在内存中。它速度快，规模大。

可索引skiplist支持O(ln n)插入、删除和任意元素的索引搜索，同时保持排序顺序。当再加上一个FIFO队列来跟踪第n个最古老的条目时，解决方案很简单:

class RunningMedian:
    'Fast running median with O(lg n) updates where n is the window size'

    def __init__(self, n, iterable):
        self.it = iter(iterable)
        self.queue = deque(islice(self.it, n))
        self.skiplist = IndexableSkiplist(n)
        for elem in self.queue:
            self.skiplist.insert(elem)

    def __iter__(self):
        queue = self.queue
        skiplist = self.skiplist
        midpoint = len(queue) // 2
        yield skiplist[midpoint]
        for newelem in self.it:
            oldelem = queue.popleft()
            skiplist.remove(oldelem)
            queue.append(newelem)
            skiplist.insert(newelem)
            yield skiplist[midpoint]

以下是完整工作代码的链接(一个易于理解的类版本和一个内联可索引的skiplist代码的优化生成器版本):

http://code.activestate.com/recipes/576930-efficient-running-median-using-an-indexable-skipli/ http://code.activestate.com/recipes/577073。