P(多项式时间):顾名思义，这些问题可以在多项式时间内解决。

NP (Non-deterministic-polynomial Time):可以在多项式时间内验证的决策问题。这意味着，如果我说有一个多项式时间解对于一个特定的问题，你要我证明它。然后，我会给出一个证明你可以在多项式时间内证明。这类问题被称为NP问题。注意，这里我们讨论的不是这个问题是否存在多项式时间解。但我们讨论的是在多项式时间内验证给定问题的解。

NP- hard:这些问题至少和NP中最难的问题一样难。如果我们能在多项式时间内解决这些问题，我们就能解决任何可能存在的NP问题。请注意，这些问题不一定是NP问题。这意味着，我们可能在多项式时间内验证这些问题的解。

NP完全:这些问题既是NP问题又是NP困难问题。这意味着，如果我们能解决这些问题，我们就能解决任何其他NP问题，这些问题的解可以在多项式时间内得到验证。

找到一些有趣的定义:

P(多项式时间):顾名思义，这些问题可以在多项式时间内解决。

NP (Non-deterministic-polynomial Time):可以在多项式时间内验证的决策问题。这意味着，如果我说有一个多项式时间解对于一个特定的问题，你要我证明它。然后，我会给出一个证明你可以在多项式时间内证明。这类问题被称为NP问题。注意，这里我们讨论的不是这个问题是否存在多项式时间解。但我们讨论的是在多项式时间内验证给定问题的解。

NP- hard:这些问题至少和NP中最难的问题一样难。如果我们能在多项式时间内解决这些问题，我们就能解决任何可能存在的NP问题。请注意，这些问题不一定是NP问题。这意味着，我们可能在多项式时间内验证这些问题的解。

NP完全:这些问题既是NP问题又是NP困难问题。这意味着，如果我们能解决这些问题，我们就能解决任何其他NP问题，这些问题的解可以在多项式时间内得到验证。

我想我们可以更简洁地回答。我回答了一个相关的问题，并从那里复制了我的答案

但首先，np难问题是指我们无法证明存在多项式时间解的问题。某些“问题- p”的np -硬度通常是通过在多项式时间内将已经证明的np -难问题转换为“问题- p”来证明的。

要回答剩下的问题，首先需要了解哪些np困难问题也是np完全问题。如果一个NP难问题属于集合NP，则它是NP完全问题。要属于集合NP，一个问题需要 (i)决策问题， (ii)问题的解的数量应该是有限的，每个解应该是多项式长度，并且 (iii)给定一个多项式长度的解，我们应该能够说出问题的答案是或否 现在，很容易看出，可能有许多NP困难问题不属于集合NP，更难解决。作为一个直观的例子，旅行推销员的优化版本(我们需要找到一个实际的时间表)比旅行推销员的决策版本(我们只需要确定长度<= k的时间表是否存在)更难。

这是对问题的非正式回答。

3233可以写成另外两个大于1的数的乘积吗?有没有办法绕过Königsberg的七座桥而不经过任何一座桥两次?这些问题都有一个共同的特点。如何有效地确定答案可能并不明显，但如果答案是“是”，那么就有一个简短而快速的证明。在第一种情况下，61的非平凡因式分解(53是另一个质因数);第二种是通过桥梁的路线(符合约束条件)。

决策问题是一组答案为“是”或“否”的问题，这些问题只在一个参数上有所不同。假设问题COMPOSITE={"Is n Is COMPOSITE ": n是一个整数}或EULERPATH={"图G有欧拉路径吗?": G是有限图}。

现在，有些决策问题即使没有明显的算法，也可以用在高效的算法上。250多年前，欧拉发现了一种有效的算法来解决“Königsberg的七座桥”这样的问题。

另一方面，对于许多决策问题，如何得到答案并不明显，但如果你知道一些额外的信息，如何证明你得到了正确的答案就很明显了。COMPOSITE是这样的:试除法是显而易见的算法，它很慢:要分解一个10位数的数，你必须尝试10万个可能的除数。但是，例如，有人告诉你61是3233的除法，简单的长除法是一种有效的方法来证明他们是正确的。

复杂性类NP是一类决策问题，其中“是”的答案有简短的陈述，快速检查证明。像复合。重要的一点是，这个定义并没有说明问题有多难。如果你有一个正确有效的方法来解决一个决策问题，只要写下解决方案中的步骤就足够了。

算法的研究仍在继续，新的聪明的算法一直在被创造出来。一个你今天可能不知道如何有效解决的问题，明天可能会有一个有效的解决方案(如果不是明显的)。事实上，直到2002年，研究人员才找到了一个有效的COMPOSITE解决方案!有了这些进步，人们真的想知道:这一点关于简短的证明只是一种幻觉吗?也许每个适合有效证明的决策问题都有有效的解决方案?没有人知道。

也许这个领域最大的贡献来自于发现一类特殊的NP问题。通过摆弄电路模型进行计算，斯蒂芬·库克发现了一个NP类型的决策问题，可以证明，这个问题比任何其他NP问题都难，甚至更难。布尔可满足性问题的有效解决方案可以用于创建NP中任何其他问题的有效解决方案。不久之后，理查德·卡普(Richard Karp)证明了其他一些决策问题也可以达到同样的目的。这些问题在某种意义上是NP中“最难”的问题，被称为NP完全问题。

当然，NP只是一类决策问题。许多问题不是自然地以这种方式表述的:“找到N的因子”，“找到图G中访问每个顶点的最短路径”，“给出一组变量赋值，使以下布尔表达式为真”。尽管人们可能非正式地将一些这样的问题称为“NP问题”，但从技术上讲，这并没有多大意义——它们不是决策问题。其中一些问题甚至可能具有与NP完全问题相同的力量:对这些(非决策)问题的有效解决方案将直接导致对任何NP问题的有效解决方案。像这样的问题被称为np困难。

NP完全问题是那些既NP- hard又属于NP复杂度类的问题。因此，为了证明任何给定的问题是NP完全的，你需要证明这个问题既是NP问题，又是NP难问题。

NP复杂度类的问题可以在多项式时间内非确定性地解决，NP复杂度类问题的可能解(即证书)可以在多项式时间内验证其正确性。

k团问题的非确定性解的一个例子是这样的:

1)从图中随机选择k个节点

2)验证这k个节点组成了一个团。

上述策略在输入图的大小上是多项式，因此k团问题属于NP。

注意，所有在多项式时间内确定可解决的问题也都属于NP。

说明一个问题是np困难的通常包括使用多项式时间映射从其他np困难问题减少到你的问题:http://en.wikipedia.org/wiki/Reduction_(complexity)