关键的一步是让合并本身就位。这并不像那些来源说的那么难，但当你尝试的时候，你会失去一些东西。

看看合并的一个步骤:

[…list-sorted…| x列表…| y…发行b…]

我们知道这个排序的序列比其他的都小，x比A中的其他所有的都小，y也比b中的其他所有的都小。在x小于等于y的情况下，你只需要把指针移到A的起始点上。在y小于x的情况下，你必须将y洗牌过整个A来排序。最后一步是代价高昂的原因(退化情况除外)。

它通常更便宜(特别是当数组每个元素实际上只包含单个单词时，例如，一个指向字符串或结构的指针)，用一些空间换取时间，并使用一个单独的临时数组来来回排序。

Knuth将此作为练习(Vol 3, 5.2.5)。确实存在就地归并排序。它们必须谨慎执行。

首先，这里描述的简单的就地合并并不是正确的解决方案。它将性能降低到O(N2)。

其思想是对数组的一部分进行排序，而将其余部分用作合并的工作区域。

例如下面的合并函数。

void wmerge(Key* xs, int i, int m, int j, int n, int w) {
    while (i < m && j < n)
        swap(xs, w++, xs[i] < xs[j] ? i++ : j++);
    while (i < m)
        swap(xs, w++, i++);
    while (j < n)
        swap(xs, w++, j++);
}  

取数组xs，两个排序的子数组分别表示为范围[i, m)和[j, n)。工作区域从w开始，与大多数教科书给出的标准合并算法相比，该算法在排序子数组和工作区域之间交换内容。结果，前一个工作区域包含合并的排序元素，而存储在工作区域中的前一个元素被移动到两个子数组中。

但是，有两个约束条件是必须满足的:

工作区域应该在数组的边界内。换句话说，它应该足够大，以容纳交换进来的元素，而不会引起任何越界错误。 工作区域可以与两个排序数组中的任何一个重叠;但是，它必须确保没有任何未合并的元素被覆盖。

定义了这个合并算法后，很容易想象出一个解决方案，它可以对数组的一半进行排序;接下来的问题是，如何处理剩余的未排序部分存储在工作区域，如下图所示:

... unsorted 1/2 array ... | ... sorted 1/2 array ...

一个直观的想法是对工作区域的另一半进行递归排序，这样就只有1/4的元素还没有排序。

... unsorted 1/4 array ... | sorted 1/4 array B | sorted 1/2 array A ...

这一阶段的关键点是我们必须归并已排序的1/4元素B 对1/2个元素A进行排序。

剩下的工作区域(只包含1/4个元素)是否大到足以合并 A和B?不幸的是，事实并非如此。

然而，上面提到的第二个约束给了我们一个提示，如果我们能确保合并序列中未合并的元素不会被覆盖，我们可以通过安排工作区域与任何一个子数组重叠来利用它。

实际上，我们不需要对工作区域的后半部分进行排序，而是可以对前半部分进行排序，并将工作区域放在两个排序数组之间，就像这样:

... sorted 1/4 array B | unsorted work area | ... sorted 1/2 array A ...

这种设置有效地安排了工作区域与子阵列a的重叠 在Jyrki Katajainen, Tomi Pasanen, Jukka Teuhola中提出。“实用的就地归并排序”。计算机学报，1996]。

所以剩下的唯一事情就是重复上面的步骤，这将工作区域从1/2,1/4,1/8，…当工作区域变得足够小(例如，只剩下两个元素)，我们可以切换到普通的插入排序来结束这个算法。

下面是基于本文在ANSI C语言中的实现。

void imsort(Key* xs, int l, int u);

void swap(Key* xs, int i, int j) {
    Key tmp = xs[i]; xs[i] = xs[j]; xs[j] = tmp;
}

/* 
 * sort xs[l, u), and put result to working area w. 
 * constraint, len(w) == u - l
 */
void wsort(Key* xs, int l, int u, int w) {
    int m;
    if (u - l > 1) {
        m = l + (u - l) / 2;
        imsort(xs, l, m);
        imsort(xs, m, u);
        wmerge(xs, l, m, m, u, w);
    }
    else
        while (l < u)
            swap(xs, l++, w++);
}

void imsort(Key* xs, int l, int u) {
    int m, n, w;
    if (u - l > 1) {
        m = l + (u - l) / 2;
        w = l + u - m;
        wsort(xs, l, m, w); /* the last half contains sorted elements */
        while (w - l > 2) {
            n = w;
            w = l + (n - l + 1) / 2;
            wsort(xs, w, n, l);  /* the first half of the previous working area contains sorted elements */
            wmerge(xs, l, l + n - w, n, u, w);
        }
        for (n = w; n > l; --n) /*switch to insertion sort*/
            for (m = n; m < u && xs[m] < xs[m-1]; ++m)
                swap(xs, m, m - 1);
    }
}

其中wmerge是前面定义的。

完整的源代码可以在这里找到，详细的解释可以在这里找到

顺便说一下，这个版本并不是最快的归并排序，因为它需要更多的交换操作。根据我的测试，它比标准版本更快，标准版本在每次递归中分配额外的空间。但它比优化版本慢，优化版本提前将原始数组翻倍，并将其用于进一步合并。

这是我的C版本:

void mergesort(int *a, int len) {
  int temp, listsize, xsize;

  for (listsize = 1; listsize <= len; listsize*=2) {
    for (int i = 0, j = listsize; (j+listsize) <= len; i += (listsize*2), j += (listsize*2)) {
      merge(& a[i], listsize, listsize);
    }
  }

  listsize /= 2;

  xsize = len % listsize;
  if (xsize > 1)
    mergesort(& a[len-xsize], xsize);

  merge(a, listsize, xsize);
}

void merge(int *a, int sizei, int sizej) {
  int temp;
  int ii = 0;
  int ji = sizei;
  int flength = sizei+sizej;

  for (int f = 0; f < (flength-1); f++) {
    if (sizei == 0 || sizej == 0)
      break;

    if (a[ii] < a[ji]) {
      ii++;
      sizei--;
    }
    else {
      temp = a[ji];

      for (int z = (ji-1); z >= ii; z--)
        a[z+1] = a[z];  
      ii++;

      a[f] = temp;

      ji++;
      sizej--;
    }
  }
}

C语言中无缓冲区归并排序的一个例子。

#define SWAP(type, a, b) \
    do { type t=(a);(a)=(b);(b)=t; } while (0)

static void reverse_(int* a, int* b)
{
    for ( --b; a < b; a++, b-- )
       SWAP(int, *a, *b);
}
static int* rotate_(int* a, int* b, int* c)
/* swap the sequence [a,b) with [b,c). */
{
    if (a != b && b != c)
     {
       reverse_(a, b);
       reverse_(b, c);
       reverse_(a, c);
     }
    return a + (c - b);
}

static int* lower_bound_(int* a, int* b, const int key)
/* find first element not less than @p key in sorted sequence or end of
 * sequence (@p b) if not found. */
{
    int i;
    for ( i = b-a; i != 0; i /= 2 )
     {
       int* mid = a + i/2;
       if (*mid < key)
          a = mid + 1, i--;
     }
    return a;
}
static int* upper_bound_(int* a, int* b, const int key)
/* find first element greater than @p key in sorted sequence or end of
 * sequence (@p b) if not found. */
{
    int i;
    for ( i = b-a; i != 0; i /= 2 )
     {
       int* mid = a + i/2;
       if (*mid <= key)
          a = mid + 1, i--;
     }
    return a;
}

static void ip_merge_(int* a, int* b, int* c)
/* inplace merge. */
{
    int n1 = b - a;
    int n2 = c - b;

    if (n1 == 0 || n2 == 0)
       return;
    if (n1 == 1 && n2 == 1)
     {
       if (*b < *a)
          SWAP(int, *a, *b);
     }
    else
     {
       int* p, * q;

       if (n1 <= n2)
          p = upper_bound_(a, b, *(q = b+n2/2));
       else
          q = lower_bound_(b, c, *(p = a+n1/2));
       b = rotate_(p, b, q);

       ip_merge_(a, p, b);
       ip_merge_(b, q, c);
     }
}

void mergesort(int* v, int n)
{
    if (n > 1)
     {
       int h = n/2;
       mergesort(v, h); mergesort(v+h, n-h);
       ip_merge_(v, v+h, v+n);
     }
}

一个自适应归并排序的例子(优化)。

添加支持代码和修改，以在任何大小的辅助缓冲区可用时加速合并(在没有额外内存的情况下仍然可以工作)。使用前向和后向合并、环旋转、小序列合并和排序以及迭代合并排序。

#include <stdlib.h>
#include <string.h>

static int* copy_(const int* a, const int* b, int* out)
{
    int count = b - a;
    if (a != out)
       memcpy(out, a, count*sizeof(int));
    return out + count;
}
static int* copy_backward_(const int* a, const int* b, int* out)
{
    int count = b - a;
    if (b != out)
       memmove(out - count, a, count*sizeof(int));
    return out - count;
}

static int* merge_(const int* a1, const int* b1, const int* a2,
  const int* b2, int* out)
{
    while ( a1 != b1 && a2 != b2 )
       *out++ = (*a1 <= *a2) ? *a1++ : *a2++;
    return copy_(a2, b2, copy_(a1, b1, out));
}
static int* merge_backward_(const int* a1, const int* b1,
  const int* a2, const int* b2, int* out)
{
    while ( a1 != b1 && a2 != b2 )
       *--out = (*(b1-1) > *(b2-1)) ? *--b1 : *--b2;
    return copy_backward_(a1, b1, copy_backward_(a2, b2, out));
}

static unsigned int gcd_(unsigned int m, unsigned int n)
{
    while ( n != 0 )
     {
       unsigned int t = m % n;
       m = n;
       n = t;
     }
    return m;
}
static void rotate_inner_(const int length, const int stride,
  int* first, int* last)
{
    int* p, * next = first, x = *first;
    while ( 1 )
     {
       p = next;
       if ((next += stride) >= last)
          next -= length;
       if (next == first)
          break;
       *p = *next;
     }
    *p = x;
}
static int* rotate_(int* a, int* b, int* c)
/* swap the sequence [a,b) with [b,c). */
{
    if (a != b && b != c)
     {
       int n1 = c - a;
       int n2 = b - a;

       int* i = a;
       int* j = a + gcd_(n1, n2);

       for ( ; i != j; i++ )
          rotate_inner_(n1, n2, i, c);
     }
    return a + (c - b);
}

static void ip_merge_small_(int* a, int* b, int* c)
/* inplace merge.
 * @note faster for small sequences. */
{
    while ( a != b && b != c )
       if (*a <= *b)
          a++;
       else
        {
          int* p = b+1;
          while ( p != c && *p < *a )
             p++;
          rotate_(a, b, p);
          b = p;
        }
}
static void ip_merge_(int* a, int* b, int* c, int* t, const int ts)
/* inplace merge.
 * @note works with or without additional memory. */
{
    int n1 = b - a;
    int n2 = c - b;

    if (n1 <= n2 && n1 <= ts)
     {
       merge_(t, copy_(a, b, t), b, c, a);
     }
    else if (n2 <= ts)
     {
       merge_backward_(a, b, t, copy_(b, c, t), c);
     }
    /* merge without buffer. */
    else if (n1 + n2 < 48)
     {
       ip_merge_small_(a, b, c);
     }
    else
     {
       int* p, * q;

       if (n1 <= n2)
          p = upper_bound_(a, b, *(q = b+n2/2));
       else
          q = lower_bound_(b, c, *(p = a+n1/2));
       b = rotate_(p, b, q);

       ip_merge_(a, p, b, t, ts);
       ip_merge_(b, q, c, t, ts);
     }
}
static void ip_merge_chunk_(const int cs, int* a, int* b, int* t,
  const int ts)
{
    int* p = a + cs*2;
    for ( ; p <= b; a = p, p += cs*2 )
       ip_merge_(a, a+cs, p, t, ts);
    if (a+cs < b)
       ip_merge_(a, a+cs, b, t, ts);
}

static void smallsort_(int* a, int* b)
/* insertion sort.
 * @note any stable sort with low setup cost will do. */
{
    int* p, * q;
    for ( p = a+1; p < b; p++ )
     {
       int x = *p;
       for ( q = p; a < q && x < *(q-1); q-- )
          *q = *(q-1);
       *q = x;
     }
}
static void smallsort_chunk_(const int cs, int* a, int* b)
{
    int* p = a + cs;
    for ( ; p <= b; a = p, p += cs )
       smallsort_(a, p);
    smallsort_(a, b);
}

static void mergesort_lower_(int* v, int n, int* t, const int ts)
{
    int cs = 16;
    smallsort_chunk_(cs, v, v+n);
    for ( ; cs < n; cs *= 2 )
       ip_merge_chunk_(cs, v, v+n, t, ts);
}

static void* get_buffer_(int size, int* final)
{
    void* p = NULL;
    while ( size != 0 && (p = malloc(size)) == NULL )
       size /= 2;
    *final = size;
    return p;
}
void mergesort(int* v, int n)
{
    /* @note buffer size may be in the range [0,(n+1)/2]. */
    int request = (n+1)/2 * sizeof(int);
    int actual;
    int* t = (int*) get_buffer_(request, &actual);

    /* @note allocation failure okay. */
    int tsize = actual / sizeof(int);
    mergesort_lower_(v, n, t, tsize);
    free(t);
}

这个答案有一个代码示例，实现了黄炳超和Michael a . Langston在论文《Practical in - place merge》中描述的算法。我不得不承认我不了解细节，但给定的合并步骤的复杂性是O(n)。

从实际的角度来看，有证据表明，纯就地实现在现实场景中并没有表现得更好。例如，c++标准定义了std::inplace_merge，顾名思义，这是一个就地合并操作。

假设c++库通常都得到了很好的优化，看看它是如何实现的是很有趣的:

1) libstdc++ (GCC代码库的一部分):std::inplace_merge

实现委托给__inplace_merge，通过尝试分配一个临时缓冲区来避免这个问题:

typedef _Temporary_buffer<_BidirectionalIterator, _ValueType> _TmpBuf;
_TmpBuf __buf(__first, __len1 + __len2);

if (__buf.begin() == 0)
  std::__merge_without_buffer
    (__first, __middle, __last, __len1, __len2, __comp);
else
  std::__merge_adaptive
   (__first, __middle, __last, __len1, __len2, __buf.begin(),
     _DistanceType(__buf.size()), __comp);

否则，它将退回到一个实现(__merge_without_buffer)，该实现不需要额外的内存，但不再在O(n)时间内运行。

2) libc++ (Clang代码库的一部分):std::inplace_merge

看起来相似。它委托给一个函数，该函数也尝试分配一个缓冲区。它将根据是否获得了足够的元素来选择实现。常量内存回退函数称为__buffered_inplace_merge。

也许回退仍然是O(n)时间，但关键是如果有临时内存可用，他们就不使用实现。

注意，c++标准通过将所需的复杂度从O(n)降低到O(nlog n)，显式地给予实现选择这种方法的自由:

复杂性: 如果有足够的额外内存可用，则正好是N-1个比较。如果内存不足，则比较O(N log N)次。

当然，这并不能证明常数空间在O(n)时间内的合并永远不应该被使用。另一方面，如果它会更快，优化的c++库可能会切换到那种类型的实现。

包括它的“大结果”，本文描述了就地归并排序的几个变体(PDF):

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.22.5514&rep=rep1&type=pdf

少移动的就地排序

于尔基·卡塔贾宁、托米·

证明了n 元素可以使用O(1)进行排序 额外空间，O(n log n / log log n) 元素移动，nlog2n + O(nlog Log n)比较。这是第一次 需要就地排序算法 O (nlogn)在最坏情况下移动 同时保证O(n log n) 比较，不过由于不变 所涉及的因素是算法 主要是理论兴趣。

我认为这也是相关的。我有一份打印本，是同事传给我的，但我还没读过。它似乎涵盖了基本理论，但我对这个主题不够熟悉，无法判断它有多全面:

http://comjnl.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/38/8/681

最优稳定合并

安东尼奥斯·西姆沃尼斯

本文介绍了如何稳定地进行归并 两个序列A和B，大小为m和 n, m≤n，分别为O(m+n) 作业,O (mlog (n / m + 1)) 比较和只使用一个常数 额外空间的数量。这 结果匹配所有已知的下界…