几乎所有的数据库(和类数据库)程序都使用二叉树来实现它们的索引系统。

当大多数人谈论二叉树时，他们通常会想到二叉搜索树，所以我将首先介绍它。

非平衡二叉搜索树实际上只对教育学生了解数据结构有用。这是因为，除非数据以相对随机的顺序进入，否则树很容易退化为最坏情况的形式，即链表，因为简单的二叉树是不平衡的。

一个很好的例子:我曾经不得不修复一些软件，它将数据加载到二叉树中进行操作和搜索。它把数据以排序的形式写出来:

Alice
Bob
Chloe
David
Edwina
Frank

所以，当读入它的时候，最终会得到下面的树:

  Alice
 /     \
=       Bob
       /   \
      =     Chloe
           /     \
          =       David
                 /     \
                =       Edwina
                       /      \
                      =        Frank
                              /     \
                             =       =

也就是简并形式。如果你要在那棵树中寻找弗兰克，你必须搜索所有六个节点才能找到他。

当你平衡二叉树时，它们对搜索真正有用。这涉及到通过根节点旋转子树，以便任何两个子树之间的高度差小于或等于1。每次将上面的名字添加到平衡树中，会得到以下序列:

1.   Alice
    /     \
   =       =

 

2.   Alice
    /     \
   =       Bob
          /   \
         =     =

 

3.        Bob
        _/   \_
   Alice       Chloe
  /     \     /     \
 =       =   =       =

 

4.        Bob
        _/   \_
   Alice       Chloe
  /     \     /     \
 =       =   =       David
                    /     \
                   =       =

 

5.           Bob
        ____/   \____
   Alice             David
  /     \           /     \
 =       =     Chloe       Edwina
              /     \     /      \
             =       =   =        =

 

6.              Chloe
            ___/     \___
         Bob             Edwina
        /   \           /      \
   Alice     =      David        Frank
  /     \          /     \      /     \
 =       =        =       =    =       =

实际上，你可以看到整个子树在添加条目时向左旋转(在步骤3和6中)，这就得到了一个平衡的二叉树，其中最坏情况的查找是O(log N)，而不是简并形式给出的O(N)。在任何情况下，最高的NULL(=)与最低的NULL(=)的差异都不超过一个级别。在上面的最后一棵树中，您可以通过查看三个节点(Chloe、Edwina和最后的Frank)找到Frank。

当然，当你把它们做成平衡的多路树而不是二叉树时，它们会变得更有用。这意味着每个节点拥有一个以上的项(从技术上讲，它们拥有N个项和N+1个指针，二叉树是1路多路树的特殊情况，有1个项和2个指针)。

使用三向树，你最终会得到:

  Alice Bob Chloe
 /     |   |     \
=      =   =      David Edwina Frank
                 /     |      |     \
                =      =      =      =

这通常用于维护项索引的键。我编写了针对硬件优化的数据库软件，其中节点的大小恰好是磁盘块(比如512字节)，您可以在单个节点中放入尽可能多的键。在这种情况下，指针实际上是记录数字到一个固定长度的记录直接访问文件，与索引文件分开(因此，记录数字X可以通过查找X * record_length找到)。

例如，如果指针为4字节，键大小为10，则512字节节点中的键数为36。这是36个键(360字节)和37个指针(148字节)，总共508个字节，每个节点浪费4个字节。

多路键的使用引入了两阶段搜索的复杂性(寻找正确节点的多路搜索与查找节点中正确键的小顺序(或线性二进制)搜索相结合)，但较少的磁盘I/O的优点远远弥补了这一点。

我认为没有理由为内存结构这样做，您最好坚持使用平衡的二叉树并保持代码简单。

还要记住，当你的数据集很小时，O(log N)比O(N)的优势并不会真正显现出来。如果您使用多路树来存储15个人在您的地址簿，这可能是多余的。当您存储过去十年来自数十万客户的每一笔订单时，优势就显现出来了。

大o符号的全部意义在于指出当N趋于无穷时会发生什么。有些人可能不同意，但如果你确定数据集将保持在某个大小以下，只要没有其他现成的数据，使用冒泡排序甚至是可以的:-)

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至于二叉树的其他用途，还有很多，例如:

二进制堆，其中较高的键高于或等于较低的键，而不是在左侧(或低于或等于或右); 哈希树，类似于哈希表; 用于计算机语言编译的抽象语法树 霍夫曼树用于数据压缩; 用于网络流量的路由树。

考虑到我为搜索树生成了很多解释，我不愿详细介绍其他搜索树，但如果您愿意，这应该足以研究它们了。

A binary tree is a tree data structure in which each node has at most two child nodes, usually distinguished as "left" and "right". Nodes with children are parent nodes, and child nodes may contain references to their parents. Outside the tree, there is often a reference to the "root" node (the ancestor of all nodes), if it exists. Any node in the data structure can be reached by starting at root node and repeatedly following references to either the left or right child. In a binary tree a degree of every node is maximum two.

二叉树很有用，因为正如你在图中看到的，如果你想找到树中的任何节点，你最多只需要找6次。例如，如果您想搜索节点24，您将从根节点开始。

根节点的值为31，大于24，所以要到左边的节点。 左边节点的值为15，小于24，所以要转到右边节点。 右边节点的值为23，小于24，所以您要转到右边节点。 右边节点的值是27，大于24，所以要转到左边节点。 左边节点的值是25，比24大，所以你到左边节点。 节点的值为24，这是我们要查找的键。

如下图所示:

您可以看到，在第一次传递时就可以排除整个树的一半节点。左边子树的一半在第二个。这使得搜索非常有效。如果这是在40亿个元素上进行的，那么您最多只需要搜索32次。因此，树中包含的元素越多，搜索的效率就越高。

删除会变得很复杂。如果节点有0或1个子节点，那么只需移动一些指针来排除要删除的指针。但是，不能轻易删除具有2个子节点的节点。所以我们走捷径。假设我们要删除节点19。

由于试图确定将左右指针移动到哪里并不容易，所以我们找到一个替换它的指针。我们到左边的子树，尽可能地向右移动。这就给出了我们想要删除的节点的下一个最大值。

现在我们复制18的所有内容，除了左指针和右指针，并删除原来的18节点。

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为了创建这些图像，我实现了一棵AVL树，一棵自平衡树，这样在任何时间点，树的叶节点(没有子节点)之间最多有一层差异。这可以防止树变得倾斜，并保持最大的O(log n)搜索时间，而插入和删除需要更多的时间。

下面是一个示例，显示我的AVL树如何保持自己尽可能紧凑和平衡。

在排序数组中，查找仍然需要O(log(n))，就像树一样，但是随机插入和删除将需要O(n)，而不是树的O(log(n))。一些STL容器利用这些性能特征来发挥它们的优势，因此插入和删除时间最多为O(log n)，非常快。这些容器包括map、multimap、set和multiset。

AVL树的示例代码可以在http://ideone.com/MheW8上找到

二叉树用于霍夫曼编码，它被用作压缩码。 二叉树用于二叉搜索树，它有助于保持数据记录，不需要太多额外的空间。

在现代硬件上，由于糟糕的缓存和空间行为，二叉树几乎总是次优的。这也适用于(半)平衡的变种。如果您发现了它们，则说明性能不重要(或由比较函数主导)，或者更可能是由于历史或无知的原因。

最常见的应用之一是高效地以排序形式存储数据，以便快速访问和搜索存储的元素。例如，std::map或std::set在c++标准库中。

二叉树作为一种数据结构，对于表达式解析器和表达式求解器的各种实现非常有用。

它也可以用来解决一些数据库问题，例如，索引。

一般来说，二叉树是一种特定的基于树的数据结构的一般概念，各种特定类型的二叉树可以构造成具有不同性质的二叉树。