对于最快的代码，numpy解决方案是最好的。不过，出于纯粹的学术原因，我发布了我的纯python版本，它比上面发布的食谱版本快不到50%。由于我将整个列表放在内存中，所以需要足够的空间来容纳所有内容，但它的可伸缩性似乎相当好。

def daniel_sieve_2(maxNumber):
    """
    Given a number, returns all numbers less than or equal to
    that number which are prime.
    """
    allNumbers = range(3, maxNumber+1, 2)
    for mIndex, number in enumerate(xrange(3, maxNumber+1, 2)):
        if allNumbers[mIndex] == 0:
            continue
        # now set all multiples to 0
        for index in xrange(mIndex+number, (maxNumber-3)/2+1, number):
            allNumbers[index] = 0
    return [2] + filter(lambda n: n!=0, allNumbers)

结果是:

>>>mine = timeit.Timer("daniel_sieve_2(1000000)",
...                    "from sieves import daniel_sieve_2")
>>>prev = timeit.Timer("get_primes_erat(1000000)",
...                    "from sieves import get_primes_erat")
>>>print "Mine: {0:0.4f} ms".format(min(mine.repeat(3, 1))*1000)
Mine: 428.9446 ms
>>>print "Previous Best {0:0.4f} ms".format(min(prev.repeat(3, 1))*1000)
Previous Best 621.3581 ms

编写自己的质数查找代码很有指导意义，但手边有一个快速可靠的库也很有用。我围绕c++库primesieve编写了一个包装器，命名为primesieve-python

试试pip install primesieve吧

import primesieve
primes = primesieve.generate_primes(10**8)

我很好奇对比一下速度。

假设N < 9,080,191, Miller-Rabin's Primality检验的确定性实现

import sys

def miller_rabin_pass(a, n):
    d = n - 1
    s = 0
    while d % 2 == 0:
        d >>= 1
        s += 1

    a_to_power = pow(a, d, n)
    if a_to_power == 1:
        return True
    for i in range(s-1):
        if a_to_power == n - 1:
            return True
        a_to_power = (a_to_power * a_to_power) % n
    return a_to_power == n - 1


def miller_rabin(n):
    if n <= 2:
        return n == 2

    if n < 2_047:
        return miller_rabin_pass(2, n)

    return all(miller_rabin_pass(a, n) for a in (31, 73))


n = int(sys.argv[1])
primes = [2]
for p in range(3,n,2):
  if miller_rabin(p):
    primes.append(p)
print len(primes)

根据维基百科(http://en.wikipedia.org/wiki/Miller -Rabin_primality_test)上的文章，对于a = 37和73，测试N < 9,080,191足以判断N是否为合数。

我从原始米勒-拉宾测试的概率实现中改编了源代码:https://www.literateprograms.org/miller-rabin_primality_test__python_.html

更快、更内存的纯Python代码:

def primes(n):
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * n
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i]:
            sieve[i*i::2*i]=[False]*((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2] + [i for i in range(3,n,2) if sieve[i]]

或者从半筛子开始

def primes1(n):
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * (n//2)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = [False] * ((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2] + [2*i+1 for i in range(1,n//2) if sieve[i]]

更快，内存更明智的numpy代码:

import numpy
def primesfrom3to(n):
    """ Returns a array of primes, 3 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//2, dtype=bool)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = False
    return 2*numpy.nonzero(sieve)[0][1::]+1

从三分之一筛子开始的一种更快的变化:

import numpy
def primesfrom2to(n):
    """ Input n>=6, Returns a array of primes, 2 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//3 + (n%6==2), dtype=bool)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
        if sieve[i]:
            k=3*i+1|1
            sieve[       k*k//3     ::2*k] = False
            sieve[k*(k-2*(i&1)+4)//3::2*k] = False
    return numpy.r_[2,3,((3*numpy.nonzero(sieve)[0][1:]+1)|1)]

上面代码的纯python版本(很难编码)将是:

def primes2(n):
    """ Input n>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < n """
    n, correction = n-n%6+6, 2-(n%6>1)
    sieve = [True] * (n//3)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
      if sieve[i]:
        k=3*i+1|1
        sieve[      k*k//3      ::2*k] = [False] * ((n//6-k*k//6-1)//k+1)
        sieve[k*(k-2*(i&1)+4)//3::2*k] = [False] * ((n//6-k*(k-2*(i&1)+4)//6-1)//k+1)
    return [2,3] + [3*i+1|1 for i in range(1,n//3-correction) if sieve[i]]

不幸的是，pure-python不采用更简单和更快的numpy方式进行赋值，并且在循环中调用len()，如[False]*len(sieve[((k*k)//3)::2*k])太慢。所以我不得不即兴修正输入(避免更多的数学运算)，并做一些极端的(痛苦的)数学魔术。

我个人认为numpy(它被广泛使用)不是Python标准库的一部分是很遗憾的，而且Python开发人员似乎完全忽略了语法和速度方面的改进。

随着时间的推移，我收集了几个质数筛子。我电脑上最快的是这样的:

from time import time
# 175 ms for all the primes up to the value 10**6
def primes_sieve(limit):
    a = [True] * limit
    a[0] = a[1] = False
    #a[2] = True
    for n in xrange(4, limit, 2):
        a[n] = False
    root_limit = int(limit**.5)+1
    for i in xrange(3,root_limit):
        if a[i]:
            for n in xrange(i*i, limit, 2*i):
                a[n] = False
    return a

LIMIT = 10**6
s=time()
primes = primes_sieve(LIMIT)
print time()-s

如果你可以控制N，列出所有质数的最快方法就是预先计算它们。认真对待。预计算是一种被忽视的优化方法。