我猜最快的方法是在代码中硬编码质数。

因此，为什么不编写一个缓慢的脚本，生成另一个源文件，其中包含所有数字，然后在运行实际程序时导入该源文件呢?

当然，只有当你在编译时知道N的上限时，这才有效，但这是(几乎)所有项目欧拉问题的情况。

PS:我可能错了，虽然解析源的硬连接质数比计算它们要慢，但据我所知，Python是从编译的.pyc文件运行的，所以在这种情况下，读取一个包含所有质数到N的二进制数组应该是非常快的。

我在这里找到了一个纯Python 2素数生成器，在Willy Good的评论中，它比rwh2_primes快。

def primes235(limit):
yield 2; yield 3; yield 5
if limit < 7: return
modPrms = [7,11,13,17,19,23,29,31]
gaps = [4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,4,2,4,6,2,6] # 2 loops for overflow
ndxs = [0,0,0,0,1,1,2,2,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,7,7,7,7,7,7]
lmtbf = (limit + 23) // 30 * 8 - 1 # integral number of wheels rounded up
lmtsqrt = (int(limit ** 0.5) - 7)
lmtsqrt = lmtsqrt // 30 * 8 + ndxs[lmtsqrt % 30] # round down on the wheel
buf = [True] * (lmtbf + 1)
for i in xrange(lmtsqrt + 1):
    if buf[i]:
        ci = i & 7; p = 30 * (i >> 3) + modPrms[ci]
        s = p * p - 7; p8 = p << 3
        for j in range(8):
            c = s // 30 * 8 + ndxs[s % 30]
            buf[c::p8] = [False] * ((lmtbf - c) // p8 + 1)
            s += p * gaps[ci]; ci += 1
for i in xrange(lmtbf - 6 + (ndxs[(limit - 7) % 30])): # adjust for extras
    if buf[i]: yield (30 * (i >> 3) + modPrms[i & 7])

我的结果:

$ time ./prime_rwh2.py 1e8
5761455 primes found < 1e8

real    0m3.201s
user    0m2.609s
sys     0m0.578s
$ time ./prime_wheel.py 1e8
5761455 primes found < 1e8

real    0m2.710s
user    0m2.469s
sys     0m0.219s

.．.在我最近的中档笔记本电脑(i5 8265U 1.6GHz)上运行Ubuntu Win 10。

这是一个mod 30轮筛，跳过倍数2,3和5。对我来说，它在2.5e9左右的时候工作得很好，那时我的笔记本电脑开始用完8G内存，需要大量交换。

我喜欢对30取余，因为它只有8个余数不是2 3 5的倍数。这允许使用移位和“&”进行乘法，除法和mod，并应该允许将一个mod 30轮的结果打包到一个字节中。我把威利的代码变成了一个分段的mod 30轮筛，以消除大N的抖动，并张贴在这里。

还有一个更快的Javascript版本，它是分段的，并使用了一个mod 210轮(没有2,3,5或7的倍数)@GordonBGood与一个深入的解释，这对我很有用。

更快、更内存的纯Python代码:

def primes(n):
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * n
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i]:
            sieve[i*i::2*i]=[False]*((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2] + [i for i in range(3,n,2) if sieve[i]]

或者从半筛子开始

def primes1(n):
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * (n//2)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = [False] * ((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2] + [2*i+1 for i in range(1,n//2) if sieve[i]]

更快，内存更明智的numpy代码:

import numpy
def primesfrom3to(n):
    """ Returns a array of primes, 3 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//2, dtype=bool)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = False
    return 2*numpy.nonzero(sieve)[0][1::]+1

从三分之一筛子开始的一种更快的变化:

import numpy
def primesfrom2to(n):
    """ Input n>=6, Returns a array of primes, 2 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//3 + (n%6==2), dtype=bool)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
        if sieve[i]:
            k=3*i+1|1
            sieve[       k*k//3     ::2*k] = False
            sieve[k*(k-2*(i&1)+4)//3::2*k] = False
    return numpy.r_[2,3,((3*numpy.nonzero(sieve)[0][1:]+1)|1)]

上面代码的纯python版本(很难编码)将是:

def primes2(n):
    """ Input n>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < n """
    n, correction = n-n%6+6, 2-(n%6>1)
    sieve = [True] * (n//3)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
      if sieve[i]:
        k=3*i+1|1
        sieve[      k*k//3      ::2*k] = [False] * ((n//6-k*k//6-1)//k+1)
        sieve[k*(k-2*(i&1)+4)//3::2*k] = [False] * ((n//6-k*(k-2*(i&1)+4)//6-1)//k+1)
    return [2,3] + [3*i+1|1 for i in range(1,n//3-correction) if sieve[i]]

不幸的是，pure-python不采用更简单和更快的numpy方式进行赋值，并且在循环中调用len()，如[False]*len(sieve[((k*k)//3)::2*k])太慢。所以我不得不即兴修正输入(避免更多的数学运算)，并做一些极端的(痛苦的)数学魔术。

我个人认为numpy(它被广泛使用)不是Python标准库的一部分是很遗憾的，而且Python开发人员似乎完全忽略了语法和速度方面的改进。

很抱歉打扰，但erat2()在算法中有一个严重的缺陷。

在搜索下一个合成时，我们只需要测试奇数。 Q p都是奇数;那么q+p是偶数，不需要检验，但q+2*p总是奇数。这消除了while循环条件中的“if even”测试，并节省了大约30%的运行时。

当我们在它:而不是优雅的'D.pop(q,None)'获取和删除方法，使用'if q in D: p=D[q]，del D[q]'，这是两倍的速度!至少在我的机器上(P3-1Ghz)。 所以我建议这个聪明算法的实现:

def erat3( ):
    from itertools import islice, count

    # q is the running integer that's checked for primeness.
    # yield 2 and no other even number thereafter
    yield 2
    D = {}
    # no need to mark D[4] as we will test odd numbers only
    for q in islice(count(3),0,None,2):
        if q in D:                  #  is composite
            p = D[q]
            del D[q]
            # q is composite. p=D[q] is the first prime that
            # divides it. Since we've reached q, we no longer
            # need it in the map, but we'll mark the next
            # multiple of its witnesses to prepare for larger
            # numbers.
            x = q + p+p        # next odd(!) multiple
            while x in D:      # skip composites
                x += p+p
            D[x] = p
        else:                  # is prime
            # q is a new prime.
            # Yield it and mark its first multiple that isn't
            # already marked in previous iterations.
            D[q*q] = q
            yield q

如果你可以控制N，列出所有质数的最快方法就是预先计算它们。认真对待。预计算是一种被忽视的优化方法。

对于最快的代码，numpy解决方案是最好的。不过，出于纯粹的学术原因，我发布了我的纯python版本，它比上面发布的食谱版本快不到50%。由于我将整个列表放在内存中，所以需要足够的空间来容纳所有内容，但它的可伸缩性似乎相当好。

def daniel_sieve_2(maxNumber):
    """
    Given a number, returns all numbers less than or equal to
    that number which are prime.
    """
    allNumbers = range(3, maxNumber+1, 2)
    for mIndex, number in enumerate(xrange(3, maxNumber+1, 2)):
        if allNumbers[mIndex] == 0:
            continue
        # now set all multiples to 0
        for index in xrange(mIndex+number, (maxNumber-3)/2+1, number):
            allNumbers[index] = 0
    return [2] + filter(lambda n: n!=0, allNumbers)

结果是:

>>>mine = timeit.Timer("daniel_sieve_2(1000000)",
...                    "from sieves import daniel_sieve_2")
>>>prev = timeit.Timer("get_primes_erat(1000000)",
...                    "from sieves import get_primes_erat")
>>>print "Mine: {0:0.4f} ms".format(min(mine.repeat(3, 1))*1000)
Mine: 428.9446 ms
>>>print "Previous Best {0:0.4f} ms".format(min(prev.repeat(3, 1))*1000)
Previous Best 621.3581 ms